2. Сложение векторов

Даны три вектора: , , . Найдём их геометрическую сумму.

Под геометрической суммой этих векторов понимают вектор , построенный следующим образом.

Рисунок 1 – Сложение векторов

Выберем произвольную точку О и построим вектор ОА, геометрически равный вектору ; из полученной точки А, как из начала, проведём вектор АВ, геометрически равный вектору и т.д. (см. рис. 1). Эти построения продолжают до тех пор, пока не изобразят все слагаемые векторы, в данном случае векторы , , и . В результате получается ломаная ОАВС. Замыкающая этой ломанной ОС будет представлять собой искомую геометрическую сумму:

ОС = ОА + АВ + ВС или .

Это правило носит название правила многоугольника.

В частности, геометрическая сумма двух векторов изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах (правило параллелограмма).

Пример 2. Сложить две силы: Н и Н; векторы , составляют с осью углы 10⁰ и 40⁰ соответственно (рис.2)

Решение: Сложение векторов (символическая запись):

Результатом сложения этих сил является сила , называемая равнодействующей. Вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, и по модулю равен её длине (рис.2). Модуль вектора находим по теореме косинусов:

Н.

Угол, который вектор составляет с осью , находим по формуле

рад

Рисунок 2 – Геометрическое сложение векторов

Проекции вектора на оси и прямоугольной системы координат равны , , где - угол между вектором и осью . Зная проекции вектора, можно найти его модуль и угол между вектором и осью (рис.3):

; .

Рисунок 3 – Проекции на оси и

Геометрическая сумма векторов равна нулю, если при построении слагаемые векторы образуют замкнутый многоугольник.

3. Вычитание векторов

Под геометрической разностью двух векторов и понимают новый вектор , который, при сложении с вычитаемым вектором , даёт в сумме уменьшаемый вектор , т. е., если , то это значит, что (рис. 4).

Рисунок 4 – Вычитание векторов

4. Умножение вектора на скаляр

Пусть даны вектор и скаляр . При умножении вектора на скаляр модуль вектора изменяется в раз, а его направление остаётся прежним или меняется на противоположное в зависимости от того, будет скаляр положительным или отрицательным числом. В результате такого действия образуется новый вектор ma, который называется произведением вектора на скаляр , т.е. , где - абсолютная величина числа .

Введём понятие единичного вектора. Единичным вектором, или «ортом », направления называется , имеющий направление вектора и модуль, равный единице: , тогда вектор можно записать через единичный вектор следующим образом: , где а – модуль вектора .

Любой вектор можно представить как произведение единичного вектора на модуль данного вектора. Например, дан вектор , пусть - единичный вектор, с – модуль вектора , тогда .

Проекция любого вектора, на какую либо ось равна его модулю, умноженному на косинус угла между положительным направлением оси проекции и направлением самого вектора. Из рисунка 5 следует, что

.

Рисунок 5 – Проекция вектора на ось Х

А теперь рассмотрим, что происходит в случае умножения вектора на положительный скаляр и на отрицательный скаляр.

Пусть у нас будут даны: вектор A и скаляр .

При умножении вектора A на положительный скаляр получаем новый вектор ( A), направление которого совпадает с направлением вектора A, а числовое значение отличается в раз.

Пример 3: Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с.

Решение: Импульс тела равен: кг · м/с и направлен в сторону (рис.6).

Рисунок 6 – Рисунок к примеру 3

При умножении вектора A на отрицательный скаляр получаем новый вектор ( A), направление которого противоположно вектору A, а числовое значение отличается в раз.

Пример 4: Заряд нКл помещён в электрическое поле с напряженностью В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.

Решение: Сила, по определению, равна . Так как заряд отрицателен, то вектор силы направлен в сторону, противоположную (рис.7). Модуль силы равен Н мкН.

Рисунок 7 - Рисунок к примеру 4

5. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Скалярное произведение обозначается через ( или .

Итак, по определению скалярное произведение двух векторов и равно

,

где - угол между векторами и .

Скалярное произведение двух векторов есть скалярная величина, положительная или отрицательная, в зависимости от того, будет больше или меньше нуля, т.е. острый или тупой угол образуют векторы и . Примером скалярного произведения является механическая работа , равная произведению силы на вектор перемещения и косинус угла между ними, т.е.

.

Если векторы параллельны, то скалярное произведение равно , так как ; .

Если векторы перпендикулярны , то скалярное произведение векторов равно нулю: , так как

Пример5: Найти работу постоянной силы 20 Н, если перемещение тела 7,5 м , а угол между силой и перемещением равен 120⁰.

Решение: Работа силы равна, по определению, скалярному произведению силы и перемещения:

Дж