§I.4.3 работа. Мощность. Энергия вращательного движения

Работа при вращательном движении вокруг данной оси равна произведению момента силы на угловое перемещение :

. (I.117)

Формула (I.117) справедлива для случая постоянного момента силы. При изменении момента по линейному закону следует воспользоваться средним значением.

Если момент силы зависит от угла поворота, т.е. , то работа вычисляется по формуле: .

Следовательно, . (I.118)

Мгновенная мощность (мощность) равна произведению мгновенного момента силы на мгновенную угловую скорость :

. (I.119)

Эта формула справедлива также и в том случае, когда или остаются постоянными; тогда мощность также постоянна.

Вращающееся вокруг оси тело обладает кинетической энергией, т.к. все элементы его массы двигаются с определённой скоростью. Эта энергия называется энергией вращения .

Если точка с массой (элемент тела) движется по окружности на расстоянии от оси, то выражение её кинетической энергии преобразовывается так:

, (I.120)

где - линейная скорость точки; - угловая скорость точки; - момент инерции.

Полная энергия тела равна сумме энергий отдельных элементов тела.

. (I.121)

Или формулу (I.121) можно представить в виде:

. (I.122)

Обратим внимание на формулу (I.120). Сравнивая между собой кинетическую энергию вращающегося тела с энергией поступательного движения тела, мы видим, что роль массы играет момент инерции, а вместо линейной скорости стоит угловая скорость.

Итак, кинетическая энергия вращающегося тела численно равна половине произведения момента инерции его на квадрат угловой скорости.

. (I.123)

Следовательно, изменение скорости вращения от до влечёт за собой изменение энергии вращения тела. Количественно изменение выражается формулой:

. (I.124)

Сопоставление уравнений динамики поступательного движения с уравнениями вращательного движения дано в таблице 3.

Таблица 3

движение
поступательное	вращательное
Основной закон динамики материальной точки (второй закон Ньютона)	Основной закон динамики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
или
	Основной закон динамики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки
Импульс тела	Момент импульса тела
Закон сохранения импульса тела	Закон сохранения момента импульса тела
Работа
Мощность
или	или
Энергия

Глава I.5 всемирное тяготение. Элементы теории поля

§I.5.1 гравитационное поле, его напряжённость

Гравитацией (или тяготением) называется универсальное взаимодействие (притяжение) между любыми видами материи.

Гравитационные силы. Гравитационные силы зависят только от взаимных расстояний между взаимодействующими материальными точками. В гравитационном поле, не изменяющемся с течением времени (стационарное гравитационное поле), работа гравитационной силы, действующей на данную перемещающуюся материальную точку, зависит лишь от начального и конечного положений точки и не зависит от формы её траектории. Поэтому гравитационные силы являются потенциальными силами. Гравитационные силы, направлены вдоль линии, соединяющей взаимодействующие точки, и поэтому называются центральными силами.

Гравитационная сила притяжения (сила тяжести) сообщает телу ускорение. Это ускорение называется ускорением свободного падения (подробнее о нём см.§I.1.6). Ускорение свободного падения связано с весом тела соотношением:

. (I.125)

Весом тела называется сила, с которой оно действует вследствие тяготения к Земле на опору или подвес, удерживающие его от свободного падения. При этом предполагается, что тело и опора (или подвес) неподвижны относительно системы отсчёта, в которой определяется вес тела.

Если тело вместе с опорой свободно падает, то его вес будет равен нулю. Исчезновение веса при движении опоры с ускорением свободного падения называется невесомостью. Состояние невесомости наблюдается в самолёте или космическом корабле при движении с ускорением свободного падения независимо от направления и значения модуля скорости их движения.

При ускоренном движении тела и опоры с ускорением, направленным вертикально вверх, вес тела будет больше действующей на него силы тяжести. Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называют перегрузкой. Действие перегрузки испытывают на себе космонавты, как при взлёте космической ракеты, так и на участке торможения космического корабля при входе в плотные слои атмосферы.

Вес любого тела – наибольший на полюсе и наименьший на экваторе. Кроме того, вес любого тела на некоторой высоте над Землёй меньше, чем на поверхности Земли. Разница в весе одного и того же тела в различных местах Земли или при подъёме на небольшую высоту невелика и практически неощутима.

Величина гравитационной силы определяется законом всемирного тяготения, сформулированным И. Ньютоном.

Закон всемирного тяготения: между двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения (силы тяготения, гравитационные силы), прямо пропорциональные массам этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними. Модуль силы тяготения определяется выражением:

, (I.126)

где и - массы взаимодействующих точек; - расстояние между ними. Коэффициент пропорциональности - называется гравитационной постоянной. Гравитационная постоянная определяется опытным путём и равна силе взаимодействия двух материальных точек, имеющих единичные массы и находящиеся на единичном расстоянии одна от другой. В системе СИ гравитационная постоянная имеет следующее значение:

(Н·м²/кг²).

Закон всемирного тяготения в указанной форме справедлив не только для двух материальных точек, но и для: а) тел произвольной формы, размеры которых во много раз меньше расстояний между центрами масс тел; б) тел со сферически-симметричным распределением масс. В этих случаях - расстояние между центрами масс взаимодействующих тел.

Закон всемирного тяготения был открыт И. Ньтоном на основании основных законов динамики и законов Кеплера. Основные законы динамики мы рассмотрели выше, а теперь сформулируем законы Кеплера.

• Планеты движутся по эллиптическим траекториям, в одном из фокусов которых находится Солнце.

• Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени занимает одинаковые площади.

• Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Каждое тело (например, Земля) создаёт вокруг себя силовое поле – поле тяготения. Напряжённость этого поля в любой его точке характеризует силу, которая действует на находящееся в этой точке другое тело и представляет собой векторную величину, направление которой определяется направлением гравитационной силы. Напряжённостью поля тяготения называется отношение силы, действующей на тело, помещённое в поле тяготения, к массе этого тела.

. (I.127)

Напряжённость гравитационного поля в данной точке пространства равна ускорению свободного падения тела, находящегося в этом месте пространства: .

Как мы видим, напряжённость гравитационного поля совпадает по величине, направлению и единицам измерения с ускорением свободного падения, но, несмотря на это, по своему физическому смыслу это совершенно разные физические величины. В то время как напряжённость поля характеризует состояние пространства в данной точке, сила и ускорение появляются только тогда, когда в данной точке находится пробное тело.

Модуль напряжённости гравитационного поля тела (материальной точки) с массой на расстоянии от неё равен

. (I.128)

Эта формула справедлива и в тех случаях, когда источником гравитационного поля является однородное по плотности тело сферической формы. При этом расстояние отсчитывается от центра масс тела, а радиус поверхности тела должен быть меньше этого расстояния.

Гравитационные поля удовлетворяют принципу суперпозиции полей: при наложении нескольких гравитационных полей их напряжённости в каждой точке пространства складываются геометрически, т.е. напряжённость результирующего поля

, (I.129)

где - напряжённость - го поля в рассматриваемой точке пространства.