Часть II. Примеры решения задач
Глава II.1. Кинематика материальной точки
§II.1.1 основные законы и формулы
1.
Средняя
скорость
материальной точки:
, или 
, (II.1)
где - элементарное приращение точки за промежуток времени ;
- путь, пройденный точкой за промежуток времени .
2. Мгновенная скорость материальной точки:
, или 
. (II.2)
где - радиус-вектор точки.
3. Среднее ускорение материальной точки:
.
(II.3)
4. Мгновенное ускорение материальной точки:
. (II.4)
5. Скорость для прямолинейного равномерного движения:
. (II.5)
6. Путь и скорость для прямолинейного равнопеременного движения:
; (II.6)
; (II.7)
, (II.8)
где - начальная скорость.
В уравнениях (II.6) и (II.8) ускорение положительно при равноускоренном движении и отрицательно при равнозамедленном.
7. Полное ускорение при криволинейном движении
, (II.9)
где - тангенциальное ускорение;
- нормальное (центростремительное) ускорение.
; (II.10)
,
(II.11)
где - скорость движения материальной точки;
- радиус кривизны траектории в данной точке.
При вращении тела угол есть величина переменная, зависящая от времени .
8. Выражение вида называется кинематическим уравнением вращения.
9.
Средняя
угловая скорость
материальной точки:
, (II.12)
где 
- изменение угла поворота за время
.
10. Мгновенная угловая скорость материальной точки:
. (II.13)
11.
Среднее
угловое ускорение
материальной точки:
, (II.14)
где - изменение угловой скорости за время .
12. Мгновенное угловое ускорение материальной точки:
. (II.15)
13. Уравнение равномерного вращения:
. (II.16)
14. Угловая скорость при равномерном вращательном движении:
. (II.17)
15. Угловое ускорение при равномерном вращательном движении:
. (II.18)
16. Уравнение равнопеременного вращения:
. (II.19)
17. Угловая скорость равнопеременного вращения:
. (II.20)
18. Угловое ускорение равнопеременного вращения:
. (II.21)
19. Частота вращения (число оборотов в единицу времени):
, (II.22)
или
, (II.23)
где - число оборотов, совершаемых за время ;
- период вращения (время одного полного оборота).
20. Связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:
а) длина дуги, пройденная материальной точкой:
, (II.24)
где - угол поворота тела; - радиус вращения точки.
б) линейная скорость точки:
; (II.25)
в) тангенциальное ускорение точки:
; (II.26)
г) нормальное ускорение точки:
. (II.27)
§II.1.2 примеры решения задач
ЗАДАЧА № II.1 Вы сидите в одном из вагонов поезда и смотрите в окно. Соседний состав начинает отправляться, а вам кажется, что уходит ваш поезд. Почему? Наблюдалось бы такое явление, если бы вы могли одновременно видеть соседний состав и здание вокзала?
Ответ. Потому что невидно тело отсчета. Если бы видели здание вокзала, то такое явление не наблюдалось бы.
ЗАДАЧА № II.2 Автомобиль и троллейбус движутся прямолинейно так, что некоторое время расстояние между ними не меняется. Относительно каких тел, каждый из них в это время находится в покое и относительно каких тел каждый из них движется?
Ответ. Автомобиль и троллейбус покоятся относительно друг друга; движутся относительно дороги.
ЗАДАЧА № II.3 Во время сильного снегопада трудно понять, движется поезд или нет. Почему?
Ответ. Не видно тела отсчета, относительно которого можно определить, движется поезд или покоится.
ЗАДАЧА № II.4 Летчик-спортсмен сумел посадить небольшой спортивный самолет на крышу легкового автомобиля, движущегося относительно дороги. При каком условии это возможно?
Ответ. Скорости самолета и автомобиля должны быть одинаковыми относительно дороги.
ЗАДАЧА № II.5 В метро, на двух эскалаторах стоят пассажиры. Движутся они или покоятся относительно друг друга, если лестницы эскалаторов движутся в одном направлении; движутся в разных направлениях?
Ответ. В первом случае пассажиры покоятся относительно друг друга, во втором — пассажиры движутся относительно друг друга.
ЗАДАЧА № II.6 Допустим, что вам нужно перейти улицу под дождем, а зонта у вас нет. Как поступить: бежать или идти шагом? Если вы побежите, то под дождем проведете меньше времени. Однако в этом случае вы можете намокнуть сильнее, чем при ходьбе шагом, так как вы сами набегаете на дождевые струи. Зависит ли ваш ответ от того, какой идет дождь: косой или вертикальный?
Ответ. Если дождь идет навстречу или падает вертикально, то следует быстрее бежать к укрытию.
ЗАДАЧА № II.7 В первые годы существования авиации самой летной считали погоду с сильным устойчивым ветром. Специальных взлетно-посадочных полос не существовало. Взлетали с более или менее ровного поля и на него же садились. Почему именно в таких условиях подъем и посадка самолетов сопровождались наименьшим числом поломок?
Ответ. Для взлета самолета была необходима большая скорость относительно воздуха, а относительно поля, наоборот, — большая скорость была не нужна, так как встречные кочки и другие неровности могли стать причиной опасных поломок. Сильный устойчивый ветер был союзником первых авиаторов именно потому, что он помогал им взлетать и садиться при пониженных скоростях самолета относительно поля.
ЗАДАЧА № II.8 Почему парашют бесполезен при падении с небольшой высоты?
Ответ. Раскрытие парашюта и превращение равноускоренного движения парашютиста при падении в равномерное требует времени, в течение которого парашютист успевает пролететь большой путь.
ЗАДАЧА № II.9 С какой целью над колесами велосипеда устанавливаются щитки?
Ответ. Грязь, пристающая к колесам, отбрасывается по касательной, поэтому она может попасть в велосипедиста и запачкать велосипед.
ЗАДАЧА № II.10 Во время движения поезда с верхней полки вагона упал мяч. Будет ли он падать вертикально? Какие ответы дадут на этот вопрос наблюдатели, находящиеся в вагоне поезда и на насыпи железной дороги?
Ответ. Для наблюдателя, находящегося в вагоне поезда, мяч будет падать вертикально, а для наблюдателя, находящегося на насыпи железной дороги, мяч будет падать по криволинейной траектории.
ЗАДАЧА № II.11 Тело переместилось из точки с координатами (0; 2) м в точку с координатами (4; -1) м. Сделать чертёж, найти модуль вектора перемещения тела и его проекции на оси координат.
Дано:
;
м;
м;
=-1
м.
Найти:
;
Решение
Рисунок
48 – Перемещение тела из точки с
координатами (0; 2) в точку с координатами
(4; -1).
Из
рисунка 48 найдём проекции перемещения
на оси координат
и
:
;
(1)
м; 
м.
Модуль вектора перемещения найдём из прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора:
м.
ЗАДАЧА № II.12 Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он ехал со скоростью 12 км/ч. Половину оставшегося времени движения – со скоростью 6 км/ч, а затем до конца пути шёл пешком со скоростью 4 км/ч. Определить среднюю скорость на всём пути (км/ч).
Дано:
км/ч;
км/ч;
км/ч
Найти:
-?
Решение
Среднюю скорость велосипедиста на всём пути определим по формуле:
. (1)
Так
как
(по условию задачи). Тело движется
равномерно, следовательно, 
, а 
.
По условию задачи
,
значит
.
(2)
Выразим
из формулы (2) время
,
получим:
. (3)
После ряда преобразований, получаем выражение для средней скорости:
; 
км/ч.
ЗАДАЧА
№ II.13
Два тела
движутся под углом
друг к другу со скоростями
и
соответственно. Найти относительную
скорость тел
и расстояние
между ними в момент времени
.
Каким будет направление относительной
скорости тел
по отношению к направлению скорости
первого тела
.
Дано:
;
;
;
Найти: -? -?
Решение
П
усть
,
где 
- относительная скорость тел (рис.49)
Рисунок
49 – Движение двух тел со скоростями
и
под углом
друг к другу
Для нахождения относительной скорости тел, воспользуемся теоремой косинусов:
. (1)
Расстояние между телами в момент времени определим по формуле:
.
(2)
Для
определения угла
,
характеризующего направление относительной
скорости тел
по отношению к направлению скорости
первого тела
,
воспользуемся теоремой синусов:
,
.
ЗАДАЧА № II.14 Из двух точек и , расположенных на расстоянии 90м друг от друга, одновременно в одном направлении начали движение два тела. Тело, движущееся из точки , имело скорость 5 м/с, а тело, движущееся из точки , - скорость 2 м/с. Через какое время, первое тело догонит второе? Какое перемещение совершит каждое тело? Задачу решить аналитически и графически.
Дано:
;
м;
м/с;
м/с.
Найти:
-?
-?
Решение
а) Аналитический способ решения.
Выберем
начало оси
в точке
и направим её по движению тела (рис.50).
Рисунок
50 – Движение двух тел со скоростями
и
вдоль оси
Запишем уравнения движения двух тел:
; 
, (1)
где
и
- координаты первого и второго тел. В
момент встречи двух тел (точка
):
.
С учётом формулы (1):
. (2)
Из уравнения (2) находим время движения тел:
; 
с.
Определим перемещения тел по формулам:
;
м;
; 
м.
б) Графический способ решения.
Отложим в масштабе по оси абсцисс время движения, а по оси ординат – значения координаты . Запишем уравнения движения тел (с учётом условия задачи):
; 
. (3)
Тогда зависимость координат от времени может быть изображена прямыми 1 и 2 (рис.51).
Рисунок
51
– График зависимости
Найдём
координаты их точки пересечения
:
с;
м.
Следовательно, первое тело догонит
второе через 30 с. Перемещения тел
соответственно равны: 
м и 
м.
ЗАДАЧА № II.15 При равноускоренном движении из состояния покоя тело проходит за пятую секунду 90 см. Определить перемещение тела за седьмую секунду.
Дано:
м;
м/с;
с; 
с;
с; 
с;
см
=
м
Найти:
-?
Решение
Проведём ось в направлении движения тела, а начало оси выберем в точке , из которой тело начинает движение (рис.52).
Рисунок
52 – Движение тела в направлении оси
Уравнение движения тела имеет вид:
. (1)
В
моменты времени
с;
с;
и с учётом условия задачи:
;
.
Следовательно, перемещение тела за
седьмую секунду будет равно:
или
. (2)
Аналогичным способом получим формулу для перемещения тела за пятую секунду:
. (3)
Выразим из формулы (3), ускорение движения тела и подставим его выражение в формулу (2), получим:
; 
м.
ЗАДАЧА
№ II.16
Уравнение
движения тела дано в виде 
.
Определить начальную скорость и ускорение
движения тела, а также координату и
скорость тела через 5 с.
Дано:
с;
Найти:
-?
Решение
Данную задачу можно решить двумя способами.
1-й способ. Запишем уравнение движения тела в общем виде:
(1)
и
сравним его с уравнением движения,
которое нам даётся по условию задачи.
Очевидно, что
; 
м/с;
м/с2.
Координату
тела через 5 с, найдём из уравнения (1):
м.
Скорость
тела через 5 с определим по формуле:
;
м/с.
2-й способ. Координату при с, найдём также, из уравнения (1).
По определению скорости:
;
м/с.
По определению ускорения:
м/с2.
ЗАДАЧА № II.17 Два тела брошены вертикально вверх с земли из одной и той же точки с одинаковой начальной скоростью 19,6 м/с с промежутком времени 0,5 с (рис. 53). Через какое время после бросания второго тела и на какой высоте они встретятся?
Дано:
с;
м/с
Найти:
Решение
Рисунок
53 – Движение двух тела в направлении
оси
Запишем уравнение движения тела в общем виде:
. (1)
Применительно ко второму телу, оно будет иметь следующий вид:
.
(2)
Тогда уравнение движения первого тела:
.
(3)
В
момент встречи двух тел их координаты
совпадают, т.е.
,
отсюда следует:
. (4)
Выразим из уравнения (4) время и проведём ряд преобразований, получим:
; (5)
с
Высоту найдём, используя формулы (2) и (5):
; 
м.
ЗАДАЧА № II.18 Как двигался мотоциклист, график скорости, движения которого изображён на рисунке 54?
Рисунок
54
– График скорости движения мотоциклиста
Решение
Из
графика (рис.54) видно, что мотоциклист
начал движение из состояния покоя (точка
).
На участке
он двигался равноускоренно, на участке
его движение было равномерным, а на
участке
- равнозамедленным с большим по абсолютному
значению ускорением, чем на участке
.
Участок
соответствует остановке. Участки
,
,
данного графика соответствуют движению
мотоциклиста в обратном направлении:
участок
- равноускоренному; участок
- равномерному и участок
-
равнозамедленному.
ЗАДАЧА
№ II.19
Автомобиль
движется по закруглению шоссе, имеющему
радиус кривизны 50 м. Уравнение движения
автомобиля
,
где
м,
м/с,
м/с2.
Найти скорость движения автомобиля;
его тангенциальное, нормальное и полное
ускорения в момент времени равном 5 с.
Определить направление полного ускорения.
Дано:
м;
;
м;
м/с;
м/с2;
с.
Найти:
Решение
Запишем общее выражение для скорости движения автомобиля:
.
(1)
Подставим в формулу (1) уравнение движения автомобиля, получим:
. (2)
Заменим
постоянные
и
их значениями, получим:
м/с.
Для нахождения тангенциального ускорения, воспользуемся формулой (II.10):
. (3)
Взяв производную по времени от общего уравнения скорости и подставив значения постоянной и времени, получим:
м/с2.
Полученное выражение для тангенциального ускорения не содержит времени: это значит, что тангенциальное ускорение постоянно по величине, поэтому движение автомобиля является равнозамедленным.
Для нахождения нормального ускорения, используем уравнение (II.11):
. (4)
Подставим
в формулу (4) значения скорости и радиуса
кривизны траектории, получим: 
м/с2.
Полное ускорение определяется по формуле (II.9):
; 
м/с2.
Направление полного ускорения можно определить, если найти угол , образуемый полным ускорением с направлением радиуса или с направлением нормального ускорения:
или 
.
ЗАДАЧА
№ II.20
Колесо
вращается по закону
.
Найти угловую и линейную скорость
колеса, а также полное ускорение точек,
лежащих на ободе колеса в конце первой
секунды вращения. Радиус колеса 20см.
Дано:
0
см =
м;
;
с.
Найти:
Решение
Угловая скорость определяется по формуле (II.13):
.
Подставим в эту формулу уравнение для углового перемещения:
; 
рад/с.
Используем формулу (II.24) для нахождения линейной скорости:
; 
м/с
По определению, угловое ускорение определяется по формуле (II.15):
.
С учётом уравнения угловой скорости, получим:
; 
рад/с2.
Полное ускорение определяется уравнением (II.9): , где
и находят соответственно по формулам: (II.27) и (II.26) :
; .
Тогда 
; 
м/с2.