§I.1.2 вектор перемещения. Путь

При движении точки положение её радиус-вектора в пространстве изменяется. Приращение радиус-вектора, характеризующего конечное и начальное положения точки, движущейся в течение некоторого промежутка времени , называется вектором перемещения (перемещением) ( ). Вектор перемещения направлен вдоль хорды траектории точки (рис.4).

Рисунок 4 – Движение материальной точки, вдоль произвольной траектории

Векторы перемещений складываются геометрически, по правилу параллелограмма или многоугольника (правило сложения векторов) (см. приложение 1).

Путь ( или ) (рис.4) - скалярная величина (скалярная функция времени: ), равная длине участка траектории, пройденного движущейся точкой за данный промежуток времени. Пути, пройденные точкой за последовательные промежутки времени, складываются алгебраически.

Пример: Материальная точка последовательно перемещается из положения в положение , затем в , и т.д. (рис. 5).

Рисунок 5 – Путь и перемещение материальной точки

Путь, пройденный материальной точкой, будет равен сумме длин участков траектории:

.

Вектор перемещения соединяет начальное положение точки с её конечным положением. В рассмотренном примере модуль вектора перемещения не равен пути , пройденному материальной точкой.

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения равен пройденному пути .

§I.1.3 скорость. Ускорение.

Для характеристики быстроты движения тел в механике вводится понятие скорости.

Различают: среднюю и мгновенную скорости.

Средней скоростью за промежуток времени называется физическая величина, равная отношению приращения радиус-вектора материальной точки к промежутку времени :

. (I.3)

Средняя скорость характеризует движение в течение всего того промежутка времени, для которого она определена.

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением приращения радиус-вектора, т.е. направлен вдоль хорды, стягивающей соответствующий участок траектории точки (рис. 4 и 6).

Мгновенной скоростью (скоростью), называется физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени :

. (I.4)

Мгновенная скорость является первой производной по времени от радиус-вектора рассматриваемой точки:

. (I.5)

Вектор мгновенной скорости материальной точки направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 6).

Рисунок 6 – Направления векторов мгновенной и средней скоростей

Для характеристики быстроты изменения скорости точки в механике вводится понятие ускорения.

Средним ускорением называется физическая величина, равная отношению изменения скорости материальной точки к длительности промежутка времени , в течение которого это изменение произошло:

. (I.6)

Направление векторов и совпадают (рис.7).

Рисунок 7 – Определение направление вектора

Мгновенным ускорением (ускорением) материальной точки в момент времени называется физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при бесконечном уменьшении промежутка времени :

. (I.7)

Мгновенное ускорение является первой производной по времени скорости рассматриваемой точки, или второй производной по времени от радиус-вектора этой точки:

. (I.8)

Вектор ускорения точки можно разложить на две составляющие: тангенциальную и нормальную .

Тангенциальная составляющая вектора ускорения направлена вдоль касательной к траектории в данной точке и называется тангенциальным (касательным) ускорением:

. (I.9)

Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю. Вектор направлен в сторону движения точки при возрастании её скорости и в противоположную сторону – при убывании скорости.

Нормальная составляющая вектора ускорения, направлена по нормали к траектории к центру её кривизны в данной точке и называется нормальным (центростремительным) ускорением:

. (1.10)

Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению при криволинейном движении.

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.8):

. (I.11)

Рисунок 8 – Полное ускорение тела и его составляющие

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения, движение будет подразделяться на несколько видов (таблица 1.):

Таблица 1. Классификация движения в зависимости от составляющих ускорения: тангенциального ( ) и нормального ( ).

N			Вид движения
1	0	0	равномерное прямолинейное
2	const	0	равнопеременное прямолинейное
3	f(t)	0	прямолинейное движение с переменным ускорением
4	0	const	равномерное движение по окружности
5	0	0	равномерное криволинейное движение
6	const	0	равнопеременное криволинейное движение
7	f(t)	0	криволинейное движение с переменным ускорением