§I.7.3 преобразования лоренца

Преобразования Лоренца описывают переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой при очень больших скоростях их относительного движения.

Уравнения, описывающие преобразования координат и времени события при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую, должны учитывать постоянство скорости света.

А. Преобразование пространственных координат

; ; , (I.160)

где - пространственные координаты относительно системы ;

- пространственные координаты относительно системы ;

- время, измеренное в системе ;

- время, измеренное в системе ;

- скорость системы в направлении оси , измеренная в системе ;

м/с – скорость света в вакууме;

.

При , т.е. формула (I.160) переходит в формулу (I.157).

В. Преобразование времени

, или ; (I.161)

При , т.е. формула (I.161) переходит в формулу (I.156).

Так как пространственные координаты и время должны быть действительными величинами, относительная скорость двух инерциальных систем отсчёта не может превышать скорости света в вакууме.

Отметим, что Эйнштейн приходит к преобразованиям (I.160) и (I.161), исходя только из своих двух общих постулатов, в которых скорость света играет существенную роль.

Из формул преобразования мы видим, что скорость света в вакууме (в отсутствие гравитации) есть предельная скорость. Скорость материальной системы не может быть равна или больше . Если бы это было не так, то под знаком корня получилась бы отрицательная величина и и были бы мнимыми, т.е. никакого физического содержания мы этим формулам не придали бы.

Кроме того, из формулы (I.161) мы видим относительность одновременности. Если два события одновременны в одной системе, то они, не одновременны в другой. С точки зрения принципа относительности можно принять за исходную систему не , а . Поскольку мы уже знаем лоренцево преобразование, то мы можем переписать его так, чтобы вместо стояло и наоборот, но только скорость тогда будет равна , если раньше она была .

Таким образом, если мы исходим из системы , то лоренцево преобразование можно представить в виде:

; ; , (I.162)

С другой стороны, мы могли бы просто вычислить из линейных уравнений (I.160) и (I.161), и это привело бы к такому же результату. Таким образом, формулы преобразования такого рода удовлетворяют взаимности.

§I.7.4 релятивистские эффекты

К наиболее распространённым релятивистским эффектам относятся: сокращение длины и замедление времени. Это одно из важнейших следствий, которое вытекает из лоренцева преобразования.

А. Сокращение длины

Линейные размеры тел в движущейся системе отсчёта сокращаются. При этом сокращаются продольные размеры тела (измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Такое сокращение размеров называют лоренцевым сокращением.

Пусть стержень движется вместе с системой отсчёта относительно системы так, как показано на рисунке 44. Длина стержня измеренная в системе равна .

Длина тела в системе отсчёта, где оно покоится ( ), называется собственной длиной. Для определения длины ( ) движущегося стержня в системе необходимо найти координаты и точек и конца и начала стержня в один и тот же момент времени по часам в системе : .

Из преобразований Лоренца следует, что

, или

. (I.163)

Рисунок 44 – Движение стержня в двух инерциальных системах отсчёта ( и )

Длина тела зависит от скорости его движения. Собственная длина тела является его наибольшей длиной. Линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчёта, уменьшается в направлении движения в раз (лоренцево сокращение длины).

Лоренцево сокращение длины является кинематическим эффектом специальной теории относительности и не связано с действием каких-либо сил, «сдавливающих» стержень вдоль его длины.

Рисунок 45 – Зависимость сокращения длины от относительной скорости

В полном соответствии с принципом относительности эффект сокращения длины стержня является взаимным: если такой же стержень покоится в системе отсчёта , то его длина в этой системе отсчёта равна , а в системе длина будет меньше в соответствии с приведённой формулой.

Как видно из формулы (I.163), эффект сокращения длины зависит от относительной скорости систем отсчёта и становится особенно заметным для скоростей, сравнимых со скоростью света. При , . Зависимость лоренцева сокращения от скорости показана на рисунке 45.

Из лоренцева сокращения следует, что никакое тело не может двигаться в пространстве со скоростью . Иначе это означало бы, что длина тела является мнимой величиной или обращается в нуль.

В. Замедление времени

Теперь перейдём ко второму основному измерению – измерению хода часов.

Если два события в системе происходят в одной и той же точке не одновременно, а разделены интервалом времени (этот промежуток времени называют собственным временем), то интервал в системе тех же событий в системе в соответствии с (I.161) будет определяться формулой

(I.164)

Соответственно для получаем

(I.165)

Если одна система отсчёта движется относительно другой, то временной интервал между двумя событиями в «движущейся» системе отсчёта оказывается больше, чем в «неподвижной» системе (парадокс часов).

Временной интервал между двумя событиями зависит от системы отсчёта, т.е. является относительной.

Так как при любой скорости отличной от нуля , то собственное время меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, измеренный в любой другой системе отсчёта. Этот эффект называют релятивистским замедлением или «растяжением» времени. Замедление времени является следствием инвариантности скорости света.

С эффектом замедления времени связан так называемый парадокс близнецов. Парадокс близнецов – мысленный эксперимент с двумя близнецами, движущимися относительно друг друга. Согласно эффекту релятивистского замедления времени каждый из близнецов считает (и это подтверждается его наблюдениями), что часы другого близнеца идут медленнее, чем его часы. Если один из близнецов улетит, а потом вернётся, то кто из них окажется младше?

Согласно специальной теории относительности младше окажется улетевший и вернувшийся. Возникает парадокс: «Почему, если каждый видел, что время замедляется у другого, младше становится именно улетавший?»

Попробуем дать простейшее объяснение данному парадоксу.

Близнец, который вернулся, неизбежно должен был изменить свою скорость. Поэтому его система отсчёта не является инерциальной (он должен двигаться с ускорением). А согласно СТО равноправны только инерциальные системы. Следовательно, нет ничего удивительного, что системы оказываются несимметричными.

Хотя такая ситуация и необычна, в ней нет внутреннего противоречия, а многочисленные эксперименты по релятивистскому замедлению времени подтверждают теорию относительности и дают основание утверждать, что так и будет на самом деле.

Вследствие замедления времени и сокращения длины скорость в инерциальной системе, движущейся относительно данной системы, также изменяется по величине и направлению.

С. Релятивистский закон сложения скоростей

Ещё одним важным следствием из преобразований Лоренца является изменение теоремы сложения скоростей по сравнению с классической механикой [1]

Существует два способа сложения скоростей в зависимости от того, в какой системе отсчёта определены эти скорости.

I способ . Правило параллелограмма.

Рисунок 46 – Перемещение тела из точки в точку и из точки в точку .

Пусть тело за время смещается из точки в точку на вектор (по определению средней скорости тела). Затем, за тоже время, тело из точки смещается в точку на вектор . Согласно правилу параллелограмма для смещений , где (рис.46). Заменим , и их значениями, тогда можно будет записать следующее выражение . Отсюда получаем параллелограмм скоростей

, (I.166)

который никак не связан с принципом относительности, так как все рассуждения проводились в одной и той же системе отсчёта, где измерены и . Уравнение (I.166) представляет собой разложение вектора на составляющие.

II способ . Правило Эйнштейна.

Совсем другая ситуация возникает, когда необходимо сделать пересчёт скоростей из одной системы отсчёта в другую.

Закон сложения скоростей в механике Ньютона противоречит постулатам СТО и заменяется в СТО новым, релятивистским законом сложения скоростей. Релятивистским называется закон сложения скоростей, вытекающий из преобразований Лоренца. Этот закон удовлетворяет постулатам СТО и предельному характеру скорости света в вакууме.

Рисунок 47 – Скорость движения системы относительно оси системы .

Если материальная точка или тело движется вдоль осей и в инерциальных системах и и имеет в этих системах скорости, равные соответственно и , то

, (I.167)

где - скорость движения системы относительно оси системы (рис.47).

Используя обратные преобразования Лоренца для перехода от параметров системы и , мы можем получить формулу такой же структуры, в которой заменяется на :

. (I.168)

Что полностью согласуется с принципом эквивалентности всех инерциальных систем отсчёта.

Формула (I.167), представляет собой закон сложения скоростей в специальной теории относительности.

Пусть в (I.168) , отсюда следует, что , т.е. вне зависимости от скорости системы отсчёта.

При и и произвольной скорости релятивистский закон сложения скоростей переходит в закон сложения скоростей механики Ньютона:

. (I.169)

Из релятивистского закона сложения скоростей следует, что сумма двух скоростей, меньших или равных , есть скорость, не большая . В частности, если , то при любой скорости . При получается, что и равно . Это подтверждает тот факт, что, в теории относительности при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света в вакууме .

Следует заметить, что именно скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую нельзя превысить.