14.3.4 Потенциальные ямы

В предыдущем параграфе рассматривалась делокализация электронов проводи­мости в объемных металлах. Такие электроны назывались свободными, но, воз­можно, термин «нелокализованные электроны» был бы точнее. Точнее из-за то­го, что при уменьшении размеров проводника до наномасштабов эти электроны испытывают эффект локализации, то есть их движение лимитируется физичес­кими размерами области, в которой они могут находиться. Влияние электроста­тических сил становится более выраженным, и электроны ограничиваются по­тенциальным барьером, который отделяет их от области, в которой они могли бы двигаться свободно. Другими словами, электроны оказываются в потенциальной яме, то есть ограниченной области с отрицательной энергией. Простая модель, наглядно демонстрирующая основные характеристики такой потенциальной ямы, — это прямоугольный колодец с очень крутыми стенками. Прямоугольная яма может быть одномерной, двумерной, трехмерной или иметь еще большее ко­личество измерений. Для простоты будет рассматриваться одномерный случай.

В любом учебнике по квантовой механике показано, что уровни энергии од­номерной прямоугольной потенциальной ямы шириной а с бесконечно высоки­ми стенками задаются уравнением

(14.6)

,

где Е₀ = π² ħ² 2m² — энергия основного состояния, а квантовое число п принима­ет значения 1,2,3,... . Эти уровни показаны на рис. 14.11 и заполняются электрона­ми снизу — вверх. Бесконечно глубокая яма имеет бесконечное количество уров­ней с прогрессивно увеличивающимся расстоянием между ними при увеличении квантового числа п. Если глубина ямы конечна, то ее уровни Е_n лежат ниже соот­ветствующих уровней бесконечно глубокой ямы, а их количество конечно. На рис. 14.12 показан случай потенциальной ямы с конечной глубиной V₀ = 7Е₀, в которой существует только три уровня. Независимо от глубины ямы в ней имеется по крайней мере одно связанное состояние Е₁. Электроны, находящи­еся в связанных состояниях в одномерной потенциальной яме, характеризуют­ся волновой функцией ψ_n(х). Вероятность его обнаружения в заданной точке х вычисляется как квадрат

Рис. 14.11 Изображение волновых функций для четырех нижних уровней энергии (п — 1, 2, 3, 4) одномерной прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками. Для каждой функции слева приведено уравнение, а справа — ее четность.

волновой функции |ψ_n(х)|², где п — квантовое число, соответствующее состоянию, в котором находится электрон. В одномерной пря­моугольной яме чередуются четные и нечетные волновые функции ψ_n(х). Для ямы бесконечной глубины ненормированные волновые функции имеют вид

ψ_n = sin(n π x/a) n = 1, 3, 5, К четные функции (14.7) ψ_n = sin(n π x/a) n = 2, 4, 6, К нечетные функции (14.8)

Эти волновые функции показаны на рис. 14.11. Четность волновой функции опре­деляется следующим образом: если (х ψ_n (x+ а/2) = ψ_n (—х + а/2) функция называет­ся четной, а если ψ_n (x+ а/2) = -ψ_n (—х + а/2) — нечетной.

Другой важной разновидностью являются потенциальные ямы криволиней­ного поперечного сечения. Для двумерной ямы круглого сечения с радиусом а и потенциалом, заданным в виде V=0 при 0 <<ρ << а и V= V₀ снаружи этой обла­сти, где ρ = (х² + у)^1/2 и tgφ = х/у — полярные координаты. Конкретная конечная яма, показанная на рис. 14.13, имеет только три уровня с энергиями E₁, Е₂, Е₃. Су­ществует и трехмерный аналог рассмотренной выше ямы, для которого потен­циал равен нулю при значениях ради­альной координаты 0 <<r <<a и V₀ — снаружи, где r = (х² + у² + z²)¹/². Еще один часто используемый потенциал — V(x) =1/2kx^2,, V(p) = \/2kp² и V(r) = \/2kr² для параболической потенци­альной ямы в одно- дву- и трехмерном случае соответственно. На рис. 14.14 показана схема такой потенциальной ямы в одномерном случае.

Рис. 14.12. Схема уровней одномерной прямоугольной ямы, на которой показаны уровни ямы с бесконечно высокими стенками (слева, пунктирные ли­нии) и лежащие ниже уровни ямы с конечными стенками (справа, сплошные линии).

Рис 14. 13 Схема двумерной конечной потенциальной ямы цилиндрической геометрии с тремя уровнями.

Другой характеристикой заданного энергетического уровня Е_п является число электронов, которые могут на нем находиться одновременно. Оно за­висит от количества различных комби­наций квантовых чисел, соответствую­щих этому уровню энергии. Из уравне­ния (14.6) видно, что для одномерной прямоугольной ямы каждому уровню

энергии соответствует только одно значение квантового числа n. Электрон также имеет спиновое квантовое число. m_s, принимающее только одно из двух значений, m_s = +1/2 и m_s = —1/2. Для одномерной прямоугольной ямы оба спиновых состояния обладают одинаковой энергией. В соответствии с принципом запрета Паули, никакие два электрона в системе не могут иметь один и тот же набор квантовых чисел, так что на каждом уровне энергии Е_n одномерной прямоугольной потенци­альной ямы могут находиться не более двух электронов с противоположно на­правленными спинами. Количество наборов квантовых чисел, соответствующих каждому уровню энергии, назы­вается его вырождением, так что вырождение всех уровней одномерной прямоугольной ямы равно двум.