8.4.8. Фундаментальное решение дифференциального уравнения теплопроводности

Известно несколько методов решения дифференциального уравнения теплопроводности (8.8): классический метод интегральных преобразований, метод источников тепла, численный метод, метод моделирования. Наиболее продуктивным для изучения тепловой ситуации в процессе резания оказался метод источников тепла. В его основе лежит решение дифференциального уравнения (8.8), полученное впервые Кельвином для следующих условий. Если в однородном теле бесконечно больших размеров в момент времени Т = 0 вспыхнул и мгновенно погас точечный источник, выделивший q Дж тепла, то температура в точке М (x, y, z) в момент времени T определяется следующим выражением, являющимся решением уравнения (8.8):

, (8.9)

где R -расстояние от точки, в которой вспыхнул источник, до интересующей нас точки М (x, y, z); R²=(x-x_и)²+(y-y_и)²+(z-z_и)²; x_и, y_и, z_и - координаты точки, в которой вспыхнул источник; Т - время, прошедшее от момента, когда источник вспыхнул и мгновенно погас, до момента времени, когда определяется температура в точке М.

Выражение (8.9) удовлетворяет уравнению (8.8), в чем можно убедиться, продифференцировав выражение (8.9) дважды по x, y, z и один раз по времени Т и подставив эти производные в уравнение (8.8). Выражение (8.9) удовлетворяет и граничным условиям: при R = θ = 0.

Решение (8.9) дифференциального уравнения (8.8) позволяет рассчитывать температурные поля в телах сложной формы при разнообразных условиях. Так, одномерный источник тепла можно представить в виде совокупности точечных источников, расположенных вдоль линии; двухмерный источник можно представить как систему из точечных источников, расположенных на поверхности, очерченной контуром источника. Таким образом, можно представить источник любой формы в виде той или иной системы точечных источников.

Источник тепла, действующий в течение конечного промежутка времени, можно представить в виде системы мгновенных точечных источников, вспыхивающих и гаснущих с весьма большой частотой в течение рассматриваемого конечного промежутка времени.

Движущийся источник можно представить как ряд последовательных вспышек и гашений мгновенных импульсов в различных точках траектории движения источника.

Используя выражение (8.9), можно получить зависимость для расчета температуры в неограниченном теле, возникающей под действием линейного неограниченного источника.

Пусть имеется мгновенный источник в виде прямой линии, проходящей через точку с координатами x_и и y_и, параллельно оси OZ. Для того чтобы получить зависимость для определения температуры в точке с координатами x, y, z, надо просуммировать температуры, возникающие от всех точечных источников, расположенных на прямой, определяемой уравнениями x = x_и, y = y_и:

.

Для нахождения интеграла применим замену z_u– z= u, dZ_u = du и обозначим . Тогда

;

Аналогично, используя последнее выражение, можно получить зависимость для расчета температуры в неограниченном теле при действии источника тепла, расположенного на плоскости y = y_и:

.

Применяя аналогичную подстановку, получим

Если источник тепла действует некоторое время, то необходимо выполнить интегрирование по времени в пределах периода времени действия источника. Пусть, например, на поверхности твердого тела действует непрерывный источник постоянной интенсивности и требуется определить температуру по истечении времени Т. Этот источник можно представить как совокупность мгновенных, пульсирующих источников. Если первый импульс источника произошел в момент временим Т₁ = 0, то второй, третий и так далее импульсы происходили в моменты времени Т₂, Т₃ …… Т_i. Если нас интересует суммарный результат всех импульсов к моменту наблюдения по истечении времени Т после первой вспышки, необходимо учесть, что от времени i - той вспышки до момента наблюдения истекло время Т - Т_i. Изменение температуры в точке М (x, y, z), вносимое каждой вспышкой,

.

Для упрощения, рассмотрим приращение температуры от вспышки плоского источника, используя (8.11):

Температура в точке М от действия всех вспышек

Таким образом, чтобы применить фундаментальное решение (8.9) дифференциального уравнения теплопроводности для определения температуры от источника тепла любой формы и в любой момент времени, необходимо совершить два интегральных перехода. Первый - интегрировать для трехмерного, двухмерного и одномерного источника соответственно по трем, двум или одной координате. В общем случае для трехмерного источника вычислить интеграл.

Этот интеграл определяет температурное поле от трехмерного мгновенного источника тепла.

Второй интегральный переход состоит в том, что для определения температуры от источника, действующего в течение конечного промежутка времени, необходимо выражение (8.13) интегрировать по времени действия:

От зависимости (8.9), описывающей температурное поле от точечного мгновенного источника, можно перейти к зависимости, описывающей температурное поле от источника, действующего в течение определенного времени. Для этого непрерывно действующий определенное время источник необходимо заменить множеством источников, называющихся пульсирующими. С начала действия источника в моменты времени Т₁, Т₂ ………Т_n сколь угодно близкие друг к другу, выделяются импульсы тепла. Нас интересует температура в заданный момент времени по истечении Т с начала действия. Каждый импульс будет оказывать влияние на температуру по - разному, так как к моменту наблюдения от каждого импульса в рассматриваемую точку тела придет различное количество тепла: больше от ранее вспыхнувших и меньше от вспыхнувших позже.

Температура, возникающая от i - того импульса, вспыхнувшего в момент времени Т_i, в рассматриваемой точке с координатами x, y, z в момент времени Т, прошедшего с начала действия источника, определяется согласно решению (8.9):

,

где q - интенсивность источника тепла;

dT_i - время действия источника.

Температура, возникающая в рассматриваемой точке от действия непрерывно действующего в течение времени Т источника, определяется по формуле

Для плоского непрерывно действующего источника, использовав выражение (8.11), получим

Используя фундаментальное решение, можно составить выражение для определения температуры, возникающей от движущегося источника тепла.

Рис. 8.19. Движущийся источник тепла

Пусть, например, одномерный источник тепла (см. рис.8.19) интенсивностью q движется из точки О со скоростью V вдоль оси ОХ, занимая последовательные, сколь угодно близкие друг к другу положения О₁, О₂, О₃………О_i. Такой источник можно представить как совокупность линейных пульсирующих источников. Каждый импульс тепла отличается от соседнего временем dТ и координатой x_i = VdT. Каждый импульс тепла, выделенного в мoмент времени T_i, приводит к изменению температуры в рассматриваемой точке М (x, y, z) на величину Δθ. Эта величина для момента наблюдения, наступившего по истечении времени T после начала, определяется на основании зависимости (8.10) с учетом движения источника:

.

Температура в точке М (x, y, z) в момент времени T от действия движущегося одномерного источника

(8.17)