8.4.9. Описание формы тел и условий на граничных поверхностях с помощью системы отраженных источников

Все рассмотренные ранее решения относились к температурному полю в теле неограниченных размеров, возникающему от различных по форме и времени действия источников тепла. Реальные тела имеют ограниченные размеры и определенную форму. Для использования решений, относящихся к неограниченному телу с целью определения температуры в ограниченном теле необходимо к действующим источникам тепла добавить систему фиктивных источников или стоков тепла.

Рассмотрим в качестве примера методику перехода от тела неограниченных размеров к телу, ограниченному плоскостью, не пропускающей тепло.

Рис.8.20. Действительный J_д

и отраженный источники тепла J_Ф.

Пусть в теле (см. рис.8.20), ограниченном плоскостью АА, действует источник тепла J_д, от которого во все стороны движутся тепловые потоки. Тепловой поток q_д, достигнув граничной плоскости AA в силу того, что она не пропускает тепло, должен повернуться в направлении потока q. Если источник будет действовать в неограниченном теле, не содержащем граничной плоскости АА, то тепловой поток от источника J_д будет неограниченно двигаться в направлении q_д. Если в неограниченном теле поместить симметрично J_д такой же источник J_Ф, то тепловые потоки, встретясь на границе АА и сложившись, образуют один результирующий поток q, направленный вдоль плоскости АА, и через эту плоскость АА тепло проходить не будет. Таким образом, тело, ограниченное плоскостью АА и содержащее источник тепла J_д, эквивалентно по тепловой ситуации неограниченному телу, содержащему два одинаковых источника J_д и J_Ф, симметрично расположенных относительно плоскости АА. При этом температура в любой точке тела, ограниченного плоскостью АА определяется суммой температур от источников J_д и J_Ф

θ (x, y, z, T) = θ (J_д) + θ (J_Ф).

Рассмотрим другой пример.

Пусть на плоскости АА (см. рис.8.20) задано граничное условие первого рода; температура на поверхности АА в рассматриваемом тепловом процессе равна нулю. Такое граничное условие можно получить из предыдущего примера, если фиктивный источник J_Ф принять за сток (отвод) тепла, а температуру, определяемую этим источником, принимать в расчетах со знаком минус. Тогда температура в любой точке тела 1 (см. рис.8.20) будет определяться так:

θ (x, y, z, T) = θ (J_д) -θ (J_Ф).

Рис.8.21. Схема отраженных фиктивных источников тепла для неограниченного клина с углом раствора 90°	Рис.8.22. Схема отраженных источников для пластины

Рассмотрим в качестве следующего примера бесконечный клин 1 с углом раствора β = 90˚ (см. рис.8.21) с адиабатическими гранями. Чтобы перейти к неограниченному телу, необходимо клин 1 дополнить отраженным клином 2 с фиктивным источником J_Ф1, а затем полученное тело, ограниченное плоскостью АА, дополнить полупространством 3 с источниками J_Ф2 и J_Ф3, расположенными симметрично относительно линии ВО. Температура в любой точке М клина 1 определяется суммой температур:

.

Для того чтобы описать температурное поле в пластине (см. рис.8.22) с адиабатическими плоскостями, необходимо ее дополнить сверху фиктивными пластинами 1, 3 и так далее с источниками J_Ф3, J_Ф1, … , а снизу - пластинами 2,4 с источниками J₂, J_Ф4 … J_Ф2i. Если источник располагается не в средине толщины пластины, то таких пластин с источниками сверху и снизу должно быть бесконечное число. К такому выводу приводит следующее рассуждение. Чтобы сделать плоскость АА адиабатической, необходимо иметь сверху пластину 1 с источником J_Ф1. Чтобы сделать плоскость ВВ адиабатической, надо иметь снизу пластину 2 с источником J_Ф2, симметрично расположенным по отношению к источнику J_Д. Однако при этом плоскость АА теряет качество адиабатической поверхности, так как через нее может проходить тепло от источника J_Ф2. Поэтому сверху необходимо расположить пластину 3 с источником J_Ф3, асимметричным относительно плоскости АА источнику J_Ф2. Такие же рассуждения справедливы по отношению к источникам J_Ф1 и J_Ф4. Температура в любой точке пластины О определяется суммой температур, создаваемых всеми источниками: J_Д, J_Ф1, J_Ф2 …… J_Фn.

_.

Расчеты показывают, что практически для пластины достаточно учесть не более двух источников сверху и снизу ее.

Рассмотренный метод применения фиктивных отраженных источников для описания граничных условий первого рода применим и для описания граничных условий четвертого рода, когда существует контакт между твердыми телами.

а	б
Рис.8.23. Движение стержня В по неограниченной пластине: а – контактирование стержня В с пластиной; б – тепловые потоки от источника тепла трения стержня с пластиной

Если на поверхности контакта двух тел функционирует источник тепла, то необходимо знать, как распределяется тепло между контактирующими объектами. Если, например, движущийся со скоростью V стержень В (см. рис.8.23) контактирует торцем на длине по плоскости неограниченного полупространства А, то выделяемое на площадке контакта тепло определенным образом распределяется между стержнем В и полупространством А. При этом от площадки контакта тепло распространяется в стержень В и полупространство А, образуя тепловые потоки. Примем плотности тепловых потоков постоянными по площадке контакта и обозначим их соответственно q_В и q_А. Общая плотность тепловых потоков составляет q = q_В + q_А. Пусть q_В = b^xq, q_А = (1 - b^x)q. Коэффициент b^x характеризует долю тепла, переходящего в тело, по отношению к которому источник тепла неподвижен. На рис.8.23б показана расчетная схема, позволяющая определить коэффициент b^x путем решения двух задач: определение температуры в стержне В и температуры в полупространстве А. Температуру на поверхности тела А можно определить по вышеописанной методике для плоского подвижного источника тепла на основе решения (8.9). Опуская здесь математические выкладки, приведем конечное выражение

.

Определим среднее значение температуры θ на площадке контакта

.

После подстановки и некоторых преобразований получим:

.

Аналогично можно получить выражение для определения средней температуры на контактной поверхности тела В:

.

Поскольку температуры на поверхностях контакта стержня В и полупространства А одинаковы, то одинаковы и средние температуры на этих поверхностях:

. (8.18)