Измерение сезонности

Уровни рядов динамики, слагаясь под совместным влиянием систематических и случайных факторов, иногда испытывают воздействие причин, обусловленных периодичностью колебаний. Сезонные колебания – это внутригодичные колебания уровней динамического ряда. Они выражаются в том, что в отдельные месяцы года уровни возрастают, в другие – снижаются. Потребление энергии, перевозки пассажиров, спрос на отдельные виды продукции, например, носят сезонный характер. Сезонные колебания характерны и для ряда показателей правовой статистики: поступление жилищных дел в суды, имущественные преступления, преступления против личности.

Для измерения сезонных колебаний статистикой предложены различные методы, одним из которых является построение индексов сезонности.

Наиболее простой прием расчета индексов сезонности в рядах динамики, которые обнаруживают тенденцию к росту или снижению уровней за каждый месяц по годам состоит в том, что данные за отдельные месяцы соотносятся со среднемесячным уровнем данного года, а затем из полученных по каждому месяцу величин исчисляется средняя арифметическая. Этот метод расчета индексов сезонности изложен в табл.

Среднемесячный уровень за 1997, 1998, 1999 г.г. определяется делением годового количества преступлений на 12 месяцев. А затем уровень каждого месяца относится к среднемесячному уровню соответствующего года. Результаты этих расчетов, выраженные в процентах, отражены в графах 5, 6, 7 табл.

Индексы же сезонности определяются как величина средняя арифметическая простая из помесячных данных.

За январь: (74,6+74,2+73,9):3=74,2%, за февраль:

За февраль: (77,9+77,4+77):3=77,4% и т. д.

Для количественного измерения силы сезонных колебаний применяются показатели вариации.

Приближенное представление о мере сезонности дает размах вариации колебаний, который вычисляется по каждому ряду динамики. Его расчет осуществляется, вычитанием из максимального индекса сезонности минимального индекса.

Месяц	Абсолютные уровни			в % к среднемесячному уровню			Индексы сезонности
	1997г.	1998г.	1999г.	1997г	1998г.	1999г.
1	2	3	4	5	6	7	8
I	132	138	145	74,6	74,2	73,9	74,2
II	138	144	151	77,9	77,4	77,0	77,4
III	156	169	174	88,1	90,9	88,8	89,3
IY	173	180	193	97,7	96,8	98,5	97,7
Y	191	209	226	107,9	112,4	115,3	111,9
YI	207	212	230	116,9	113,.9	117,3	116,0
YII	215	224	248	121,5	120,4	126,5	122,8
YIII	211	230	235	119,2	123,6	119,9	120,9
IX	208	215	221	117,5	115,6	112,7	115,3
X	184	189	200	103,9	101,6	102,0	102,5
XI	172	177	179	97,2	95,2	91,3	94,6
XII	142	148	152	80,2	79,6	77,5	79,1
В среднем за месяц	177	186	196	100	100	100	100

Например, по данным таб. размахи колебаний составили:

1997 г. 121,5-74,6=46,9%.

1998 г. 123,6-74,2=49,4%.

1999 г. 126,5-73,5=52,6%..

Сравнение размахов колебаний за несколько лет позволяет судить о направлении в изменении сезонности. Так по данным нашего расчета видно что происходит усиление сезонных колебаний.

Однако размах вариации не дает полного представления о глубине сезонных колебаний, т. к. опирается только на два экстремальных значения индексов сезонности.

Поэтому рассчитывается коэффициент сезонности колеблемости методом среднего квадратического отклонения:

.

Для нашего примера:

При исчислении показателей колеблемости из сезонной волны (индексов сезонности) среднее квадратическое отклонение тождественно коэффициенту вариации, т. к. средней величиной для индексов сезонности является 100.

Сравнение коэффициентов сезонности, вычисленных за несколько периодов, покажет сдвиги в сезонности. Если эти показатели уменьшаются, значит сезонный характер преступности идет на убыль.

Рассмотрим вычисление сезонной волны в стабильном ряду динамики, в котором нет ярко выраженной тенденции к росту или снижению, когда внутригодичные колебания происходят вокруг некоторого постоянного уровня – . Индексы сезонности в этом случае исчисляются по формуле:

(2.1.1)

где – средняя из фактических уровней одноименных месяцев;

– общая средняя за исследуемый период.

Рассчитаем индексы сезонности по данным о перевозке грузов автотранспортным предприятием за три года (см. табл.).

Как видно из приведенных данных, ярко выраженной тенденции к росту или снижению объема перевозок в ряду динамики не наблюдается.

Индексы сезонности исчисляются в три этапа:

1. Рассчитываются среднемесячные уровни перевозок ( ) поданным за три года по формуле средней арифметической простой (гр.6 = гр. 5 : 3). Это позволяет избавиться от случайных колебаний месячных уровней.

Месяц	Объем перевозок, тыс. т					Индексы сезонности, %
	1-й год	2-й год	3-й год	Всего за 3 года	В среднем за 3 года
1	2	3	4	5	6	7
январь	1020	1070	1030	3120	1040	94,8
февраль	1040	1040	1060	3140	1050	95,7
март	1060	1080	1090	3230	1080	98,4
апрель	1100	1110	1130	3350	1110	101,1
май	1130	1120	1120	3370	1120	102,1
июнь	1150	1100	1170	3420	1140	103,9
июль	1160	1130	1180	3470	1160	105,7
август	1200	1170	1240	3610	1200	109,3
сентябрь	1120	1160	1170	3450	1150	104,8
октябрь	1090	1070	1070	3230	1060	98,4
ноябрь	1020	1040	1020	3080	1030	93,8
декабрь	1000	1030	1020	3050	1020	92,9
Итого	13090	13120	13300	39510	1097,5	100,0

2. Определяется общая средняя за исследуемый период ( ) делением общего итога графы 5 на 36 месяцев (39510 : 36 = 1097,5).

3. Исчисляются индексы сезонности, которые представлены в графе 7 табл.

Рассмотрим анализ сезонных колебаний по методу Персонса

Измерение сезонности методом У. Персонса применяется в рядах динамики, отражающих развитие явлений, общая тенденция которых изменяется по средней геометрической, т.е. по сложным процентам. Суть метода У.Персонса заключается в исчислении показателей средней сезонной волны как медианных значений (а не как простых средних арифметических) из цепных отношений. Здесь погрешность, вызванная влиянием общей тенденции, устраняется с помощью среднего коэффициента подъема (или снижения) общей тенденции по средней геометрической. При использовании этого метода первым шагом является вычисление цепных отношений как процентных отношений каждого уровня ряда к уровню ряда предшествующего. Затем исчисляют средние из медианных значений. Медиана за первый отрезок времени принимается за единицу (или 100 %), а для остальных периодов средние исчисляются путем последовательного перемножения медианных средних (см. табл.). При перемножении преобразованного медианного значения за четвертый квартал на медианное значение первого квартала должна получиться единица (100,0 %). Однако результат обычно бывает больше единицы или меньше ее, поскольку он отражает действительность, на развитие которой оказывает влияние общая тенденция увеличения или уменьшения.

Год	I квартал	II квартал	III квартал	IV квартал
1-й	51,9	55,0	62,3	54,1
2-й	48,0	48,7	48,0	46,6
3-й	43,0	49,6	58,4	48,0
4-й	46,3	48,0	57,2	45,4
5-й	40,0	40,2	47,3	35,3
6-й	36,4	39,1	57,6	41,7

При анализе сезонности методом относительных величин разность теоретического и действительного исключалась равномерно из каждого квартального показателя, а в способе У. Персонса исключение разности основано на применении формулы сложных процентов.

Измерим сезонные колебания по данному методу, используя условные данные о продаже сахара в городе по кварталам за шесть лет, рассчитав на их основе вначале цепные отношения (темпы роста).

Относительные числа сезонности продажи сахара рассчитаем в нижеследующей таблице:

Год	Поквартальные процентные отношения уровней ряда
	I	II	III	IV
1-й	100,00	92,48	113,27	86,84
2-й	88,72	101,46	98,56	97,08
3-й	92,27	115,35	117,74	82,19
4-й	96,46	108,67	112,17	79,37
5-й	88,11	100,5	117,66	74,63
6-й	103,12	107,41	147,31	72,39

Определим среднеквартальные показатели как медианные значения из цепных отношений уровней продажи, расположенных по возрастающим значениям, а не по значениям времени возникновения.

Для первого квартала ранжированный ряд цепных отношений будет иметь вид: 88,11; 88,72; 92,27; 96,46; 103,12. Медиана этого ряда – 92,72 – центральный член нечетного числа членов ряда.

Для второго квартала ранжированный ряд цепных отношений следующий: 92,48; 100,5; 101,46; 107,41; 108,67; 115,35. Медиана этого ряда рассчитывается как средняя двух центральных членов ряда четного числа членов (101,46 + 107,41) : 2 = 104,435.

Таким же образом определяются медианные значения для третьего и четвертого кварталов из их цепных отношений (см. табл.)

Квартал	Медианные значения из цепных отношений	Преобразованные медианные значения	Сезонные колебания (не выправленные)	Сезонная волна в среднем за 6 лет
I	92,720	100,000	100,000	90,8
II	104,435	104,435	106,620	96,8
III	117,700	122,920	128,175	116,4
IV	80,780	99,290	105,770	96,0
Итого: по всем кварталам	395,635	426,645	440,565	400,0
в среднем за год	98,910	106,660	110,140	100,0

Медианные значения, исчисленные из цепных отношений, необходимо преобразовать в базисные, приняв за основание медиану первого квартала. Значение для второго квартала в отношении к первому уже было установлено – 104,435 %, для третьего квартала оно определяется перемножением показателя второго квартала на медианное значение из цепных отношений третьего квартала(104,435 · 117,7):100; для четвертого квартала – (122,92 ·80,78): 100.

Перемножение преобразованного значения за четвертый квартал на медианное значение первого квартала (99,29 · 92,72):100 =92,06 обнаруживает, что под влиянием общей тенденции развития ряда динамики к снижению, сезонные колебания сдвинулись на –7,94 % (92,06 – 100).

Исправление погрешности по методу У. Персонса (–7,94 %)основано на предположении развития ряда динамики по формуле сложных процентов. Величина ошибки характеризуется ежеквартальным увеличением или уменьшением, вызванным общей тенденцией. Ежеквартальная поправка исчисляется по следующей формуле:

где r – коэффициент поправки;

y_n – последний уровень ряда динамики;

y₁ – начальный уровень;

n – число уровней.

Для нашего примера эта поправка составит:

По методу Персонса для исключения общей тенденции, т.е. для того, чтобы выразить только сезонные колебания, необходимо преобразованные медианные значения уменьшить в следующих отношениях: для второго квартала 104,435 : 0,9795 = 106,62; для третьего -122,92 : (0,9795 - 0,0205) = 122,92 : 0,959 = 128,175 ; для четвертого - 99,29 : (0,959 - 0,0205) = 99,29 : 0,9385 = 105,77.

Таким образом, исчислены сезонные колебания в чистом виде, но средняя сезонных колебаний составляет 110,14 % , а по выправленной сезонной волне должна быть равной 100 %. Принимая среднюю арифметическую (110,14 %) из исправленных сезонных колебаний за100 %, определяем непосредственно сезонную волну:

для первого квартала

для второго квартала

для третьего квартала

для четвертого квартала

При исчислении средних как медианных значений редкие случайные отклонения не сказываются на индексах сезонности, они не принимаются в расчет. Однако исключение общей тенденции по этому методу производится по сложным процентам, а в действительности же, как было показано выше, развитие ряда динамики может происходить по самым различным траекториям. Поэтому правильнее при анализе сезонности явлений, в которых наблюдается тенденция увеличения или снижения , прежде всего установить форму связи между изменениями времени и уровнями явления, определить общую тенденцию развития явления, исключить ее, а потом уже исчислять показатели сезонности и производить их анализ.