Контрольные вопросы
1. Какое алгебраическое выражение называется: а) одночленом;
б) многочленом?
2. Какие члены многочлена называются подобными?
3. Какие члены многочлена взаимно уничтожаются?
4. Как сложить: а) одночлены; б) многочлены?
5. Как вычесть: а) одночлены; б) многочлены?
Как открыть скобки?
Как заключить члены многочлена в скобки?
Как умножить: а) многочлен на одночлен; б) многочлен на многочлен?
Как разделить многочлен на одночлен?
Чему равен: а) квадрат двучлена; б) куб двучлена?
Чему равно произведение: а) разности двух выражений на их сумму; б) суммы двух выражений на неполный квадрат их разности; в) разности двух выражений на неполный квадрат их суммы?
Что значит разложить многочлен на множители?
Какие вы знаете способы разложения многочленов на множители?
На что раскладывается: а) разность квадратов; б) разность кубов; в) сумма кубов?
§ 2. Алгебраические дроби
Алгебраическая дробь –
это дробь вида
,
где а и b – алгебраические выражения.
Например:
это алгебраические дроби.
Числитель дроби может иметь любое значение. Знаменатель дроби может иметь любое значение, кроме нуля. Если знаменатель дроби равен нулю, то дробь не имеет смысла.
Свойства алгебраических дробей
1. Дробь равна нулю, если а = 0, b ≠ 0.
2. Величина дроби (значение дроби) не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одинаковое выражение, не равное нулю. Это основное свойство дроби:
,
где m ≠ 0; n ≠ 0.
Это свойство позволяет (дает возможность) сокращать дроби.
Сократить дробь – это значит разделить числитель и знаменатель дроби на одинаковое выражение (или число), не равное нулю.
Чтобы сократить алгебраическую дробь, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель, а затем сократить их на общий множитель.
Пример.
Сократить дробь
.
Здесь (а + 1) – общий множитель числителя и знаменателя.
Если у числителя и знаменателя нет общих множителей, то дробь сократить нельзя. Такая дробь называется несократимой.
3. Величина дроби не изменится, если изменить знаки на противоположные:
а) у числителя и знаменателя;
в) у числителя и перед дробью;
с) у знаменателя и перед дробью:
.
Пример 1.Сократить
дробь
.
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби, получим:
.
Здесь мы изменили знаки перед дробью и у числителя. Можно было изменить знаки перед дробью и у знаменателя:
.
Как видим, результат получился одинаковый.
Действия с алгебраическими дробями
1. Сложение и вычитание алгебраических дробей
Сложение и вычитание алгебраических дробей выполняются по тем же правилам, что и арифметических дробей.
Например:
; 
.
Эти дроби имели одинаковые знаменатели. Если же дроби имеют не одинаковые знаменатели, то их необходимо привести к наименьшему общему знаменателю.
Пример 1.
;
bd – наименьший общий знаменатель.
Пример 2.
.
Пример 3.
=
.
Пример 4.
=
=
=
=
=
.
Пример 5.
.
2. Умножение алгебраических дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители, а затем знаменатели. Первое произведение будет числителем, а второе – знаменателем результата:
.