Упражнения с решениями

Решите уравнения:

1. ;

D(х): xØ.

Значит, уравнение не имеет решений.

Ответ:.

2. ;

D(х): .

Изолируем один корень: .

Возводем обе части этого уравнения в квадрат: .

Снова изолируем корень: , .

Снова возводим обе части уравнения в квадрат: .

Делаем проверку: .

Ответ: .

3. ;

D(х): .

Введем новую переменную: , ,

тогда

Получим уравнение: ;

Ответ: .

4. ,

D(х): хR.

Изолируем один корень: .

Возведем обе части уравнения в куб:

Введем новую переменную .

Получим квадратное уравнение , где .

Ответ: .

Упражнения

1. Покажите, что данные уравнения не имеют корней:

1) ; 2) ; 3) ; 4)  .

2. Решите уравнения:

А. 1) ; 2) ; 3) ; 4)  ;

Б. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

Ответы: 2.А. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Б. 1) ; 2) ; 4) ; 5) ; 6) .

Контрольные вопросы

1. Какие уравнения называются иррациональными?

2. Какие действия нужно выполнить, чтобы решить иррациональное уравнение?

3. Почему нужно делать проверку корней?

§ 5. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными

Система уравнений называется нелинейной, если хотя бы одно из его уравнений является нелинейным.

Решение нелинейных систем

Рассмотрим основные методы решения нелинейных систем.

1. Метод подстановки

Этим методом решают системы, которые содержат одно уравнение второй степени и одно уравнение первой степени (простейшие системы).

Пример. Решите систему уравнений

Из второго уравнения получим Данная система равносильна системе:

Переход к этой системе называется подстановкой.

Упростим и получим

Решаем второе уравнение и находим и

Далее

Ответ:

II. Метод алгебраического сложения

Пример: Решите систему уравнений

Складываем левые части уравнений и правые части уравнений соответственно. Получаем простейшую систему, равносильную данной 

Решим эту систему способом подстановки:

Ответ:

III. Решение системы нелинейных уравнений с двумя переменными с помощью теоремы Виета

Системы вида решают с помощью теоремы Виета.

Пример 1. Решите систему уравнений

Значения х и у можно рассматривать как корни приведённого квадратного уравнения: .

Тогда Оба уравнения системы симметричны относительно x и у. Поэтому получаем две пары решений: если одно решение то второе, наоборот:

Пример 2. Решите систему уравнений

Систему записываем в виде

Тогда x и – у будут корни квадратного уравнения

Получаем



Ответ:

IV. Решение системы уравнений, которые симметричны относительно х и у

Такие системы решают методом ввода новых переменных: , .

Пример 1:

Пусть .

Тогда

Имеем:

Ответ: .

Пример 2:

Сначала преобразуем систему:

Пусть , .

Тогда

Имеем

Ответ: .