Упражнения с решениями

1. Докажите, что функция , где х ≥ 0, возрастает.

Решение. Пусть . Тогда . Значит, при . Следовательно, функция возрастает на интервале .

2. Определите четность или нечетность функции: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) Дана функция , D(y) = . Найдем : . Получили, что . Это нечетная функция. График ее симметричен относительно начала координат.

2) Дана функция , D(y)=R. Найдем :

. Получили, что . Это четная функция. График ее симметричен относительно оси Оу.

3) Дана функция , D(y) = R. Найдем :

. Это функция общего вида.

Упражнения

1. 1) Докажите, что функция , где , убывает. 2) Докажите, что функция убывает, где .

2. Определите четность или нечетность функции:

А. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Б. 1) ; 2) ; 3) ; 4)  .

В. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) , где х≥0; 7) , где х≥0.

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется: а) возрастающей; б) убывающей?

2. Какая функция называется: а) четной; б) нечетной?

3. Как расположены графики: а) четной функции; б) нечетной функции; в) функции общего вида?

4. Что такое интервалы знакопостоянства?

5. Что такое корни функции?

§ 3. Линейная функция

Линейная функция– это функция вида , где kR и bR .

График линейной функции – прямая линия. Для построения графика достаточно двух точек, например А(0, b) и B (рис. 7.10).

k – это угловой коэффициент.

, где  – это угол, который образует прямая y = kx + b с положительным направлением оси Ох.

Е сли k > 0, то угол  острый; если k < 0, то угол  тупой; если k = 0, то прямая параллельна оси Ох.

Свойства функции .

1. .

2. .

3. Точки пересечения с осями координат: (0; b) и .

4. Е

   Рисунок 7.10

   сли k > 0, то функция монотонно возрастает; если k < 0, то функция монотонно убывает.

5. Если k > 0, то функция положительна при и отрицательна при ; если k < 0, то функция положительна при и отрицательна при .

6. Если , то это функция общего вида.

7. Асимптот нет.

Пусть даны две функции и , то

• если , но , то прямые параллельны (графики функций , на рис. 7.11);

• е

  Рисунок 7.11

  сли , то прямые перпендикулярны (графики функций и , и на рис. 7.11).

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность – это функция вида y = kx, где kR.

Прямая пропорциональность – это частный случай линейной функции. График – прямая, которая проходит через начало координат.

Н а рис. 7.12 показаны графики функций: , , .

Свойства функции .

3. Точка пересечения с осями координат: (0, 0).

4. Если , то функция монотонно возрастает; если , то функция монотонно убывает.

5. Е

   Рисунок 7.12

   сли , то функция положительна

при и отрицательна при ;

если , то функция положительна при и отрицательна при .

6. Функция нечетная, т.к. . График симметричен относительно начала координат.

7. Асимптот нет.

Слова и словосочетания: лине́йная фу́нкция, углово́й коэффицие́нт, пряма́я пропорциона́льность, ча́стный слу́чай≠о́бщий слу́чай.