1. Способ подстановки

При решении системы способом подстановки нужно из любого уравнения выразить одну переменную через другую.

Решим систему (I).

Из уравнения (1) выразим y через x: .

Выражение подставим во второе уравнение. Получим – уравнение с одной переменной. Решим уравнение, найдем . Подставим это значение в выражение для y, получим .

Чтобы решить систему способом подстановки, нужно:

1. из одного уравнения выразить одну переменную через другую;

2. подставить полученное выражение во второе уравнение и найти первую переменную;

3. найти значение второй переменной из первого уравнения.

Пример 1: Решить систему уравнений способом подстановки.

Решение. . Из уравнения (2) найдем y = 11 – 2x. Подставим это выражение в (1). Получим . Найдем 5x – 33 + 6x = 22, 11x = 55, x = 5.

Подставим х = 5 в выражение для y: y = 11– 2·5 = 1.

Ответ: {(5; 1)}.

2. Способ алгебраического сложения

При решении системы способом алгебраического сложения нужно уравнение (1) умножить на , а второе на (– ). Тогда коэффициенты при переменной y будут равны по модулю и противоположны по знаку. Получим:

Сложим эти уравнения:

Отсюда найдем .

Подставим значение х в любое из уравнений, найдем y.

Пример 2: Решить систему уравнений способом алгебраического сложения.

Решение. Сделаем так, чтобы коэффициенты при х были равны по модулю и противоположны по знаку. Для этого умножим уравнение (1) на (–3), а уравнение (2) – на 2. Получим

, или .

Выполним сложение уравнений и получим y = –47. Подставим y = –47 в (1). Получим , , 2х = 250, х = 125.

Ответ: S = {(125; –47)}.

3. Графический способ

Чтобы решить систему уравнений графическим способом, нужно:

1. построить график первого уравнения;

2. построить график второго уравнения;

3. найти координаты точек пересечения графиков.

В случае системы линейных уравнений (I) графиком каждого уравнения есть прямая линия. Координаты точки пересечения графиков есть пара чисел (x; y), которая является решением системы.

График первого уравнения – прямая линия с угловым коэффициентом . График второго уравнения – прямая линия с угловым коэффициентом . Так как , то . Графики уравнений не параллельные прямые, они пересекаются.

Пример 3: Решите графически систему .

Решение. Построим первую прямую: (0; –6) и (4; 0) – точки пересечения графика с осями координат (рис. 5.2).

Построим вторую прямую: (0; –4) и (–2; 0) – точки пересечения графика с осями координат (рис. 5.2).

Рисунок 5.2

Точка M(x; y) – точка пересечения графиков. Ее координаты х = 2, y = –3.

Следовательно, решение системы S = {(2; –3)}.

Ответ: S = {(2; –3)}.

Второй случай. Коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны: .

Пусть . Тогда , , .

Систему можно записать так: .

Первое уравнение разделим на k ≠ 0.

Получим систему из двух одинаковых уравнений. Такая система имеет бесчисленное множество решений. В этом случае графики уравнений совпадают.

Пример 4: Решить графически систему: .

Решение. .

Прямые совпадают. Система имеет бесчисленное множество решений.

(0; –10) и (10; 0) – точки пересечения графика с осями координат (рис. 5.3).

Рисунок 5.3

Третий случай. Коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: . Пусть , откуда , .

Систему можно записать так: .

Разделим первое уравнение на k ≠ 0.

Получим систему .

Вычтем из первого уравнения второе:

0 = .

Здесь или , но по условию . Следовательно, мы получили неверное равенство. В этом случае система не имеет решения. Графики уравнений – параллельные прямые, так как угловые коэффициенты и – равны.

Пример 5: Решить графически систему .

Решение. . Построим графики (рис. 5.4).

Прямые параллельны. Система не имеет решения.

Ответ: .

Н

Рисунок 5.4

овые слова и словосочетания: систéма уравнéний, линéйное уравнéние, коэффициéнты пропорционáльны (не пропорционáльны), спóсоб подстанóвки, спо́соб алгебраи́ческого сложéния, графи́ческий спо́соб.