Упражнения с решениями

Постройте график функции и напишите ее свойства.

Решение. Выделим полный квадрат:

= .

Построим график функции . Сдвинем его на 2 единицы вправо по оси Ох и и на 9 единиц вниз по оси  Оу (рис. 7.28).

График функции  это парабола с вершиной в точке (2;– 9).

Свойства функции :

1. .

2. .

3. Т очки пересечения с осями координат: ось Ох  и ; ось Оу – (0; – 1).

4. при х=2.

5. Функция убывает при , функция возрастает при .

6. Функция положительна при

;

функция отрицательна при .

7. Функция общего вида, т. к.

Рисунок 7.28

.

8) Асимптот нет.

Упражнения

1. Постройте графики функций в одной системе координат: ; ; ; ; ; . Как изменяется каждая из этих функций в зависимости от коэффициента а?

2. Постройте графики функций:

А. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)  ; 6) ; 7) ; 8) ; 9)  ; 10) .

Б. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

В. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Напишите свойства функций: 1) ; 2) ; 3)  .

4. Вершина параболы имеет координаты х = 6, у = – 12. Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точке (8; 0). Найдите a, b, c.

5. Вершина параболы имеет координаты х = – 2, у = 7. Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Оу в точке (0; 15). Найдите a, b, c.

6. Решите графически систему уравнений:

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется квадратичной?

2. Как называется график квадратичной функции?

3. По каким формулам можно найти координаты вершины параболы?

4. Назовите свойства функции .

5. Как влияет коэффициент а на растяжение функции ?

6. Как преобразовать функцию к виду ?

7. При каком условии функция не является квадратичной?

§ 8. Степенная функция

Степенная функция – это функция вида , аR, nN.

Рассмотрим степенную функцию для различных значений n.

1. Если , то .

Это прямая пропорциональность. Ее свойства описаны в § 3.

2. Если , , то .

На рисунке 7.29 показаны графики функций , . Графики этих функций – парабола. Свойства этих функций аналогичны свойствам квадратичной функции (§ 7).

Рисунок 7.29

3. Если , , то .

На рисунке 7.30 показаны графики функций , . Графики этих функций – кубическая парабола.

Свойства функции , kN.

1. .

2. .

3. Точка пересечения с осями координат (0; 0).

4. Е

   Рисунок 7.30

   сли а>0, то функция возрастает; если а<0, то функция убывает.

5. Если а>0, то функция положительна при и отрицательна при ; если а<0, то функция положительна при и отрицательна

при .

6. Функция нечетная, т. к.

.

График симметричен относительно начала координат.

7. Асимптот нет.

Слова и словосочетания: степенна́я фу́нкция, куби́ческая пара́бола.