Контрольные вопросы
Какие корни называются подобными?
Как привести корни к простейшему виду?
Как доказать подобие корней?
Как сложить и вычесть корни?
Как умножить и разделить корни с одинаковыми показателями?
Как умножить и разделить корни с разными показателями?
§ 3. Иррациональные выражения
Иррациональное выражение это выражение, в котором переменная находится под знаком корня.
Например: , это иррациональные выражения.
Разложение иррациональных выражений на множители
Рассмотрим примеры. Разложить на множители:
1)
2)
3)
;
4)
;
5)
6)
;
7)
=
8)
.
Освобождение знаменателя дроби от иррациональности
Некоторые дроби, которые содержат корни в знаменателе, можно заменить дробями, которые не будут содержать корни в знаменателе. Этот процесс называется освобождением знаменателя дроби от иррациональности.
Если A, B, C, D – некоторые
алгебраические выражения, то можно
указать правила, по которым освобождаются
от знаков корня в знаменателе выражения
вида
Во всех случаях от корней в знаменателе освобождаются умножением знаменателя и числителя дроби на такой множитель, чтобы его произведение на знаменатель дроби было рациональным.
Рассмотрим некоторые из этих случаев:
1. Для освобождения от
иррациональности в знаменателе дроби
вида
умножим
знаменатель и числитель на
:
;
.
Пример:
2. Если есть дроби вида
,
то знаменатель и числитель первой дроби
умножаем на выражение
,
а знаменатель и числитель второй дроби
– на выражение
.
Получим
,
.
Примеры:
а)
;
б)
.
Примечание. Выражения A + B и A – B называются сопряженными.
3. В случае выражений типа
используем преобразование формул:
,
Примеры:
а)
=
;
б)
.
В некоторых случаях требуется освободить от иррациональности числитель дроби. Освобождение числителя от иррациональности выполняем аналогично.
Пример:
.
Слова и словосочетания: иррациона́льное выраже́ние, иррациона́льность, освобожде́ние от иррациона́льности, сопряже́нные выраже́ния.
Упражнения с решениями
Выполнить действия:
1)
;
2)
Упражнения
А
1. Освободите знаменатель дроби от иррациональности:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
.
2. Выполните действия:
1)
2)
3)
4)
5)
.
3. Разложите на множители:
1)
2)
; 3)
4)
5)
6)
7)
8)
.
Б
1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
1)
2)
; 3)
;
4)
.
2. Выполните действия:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Ответы: А. 1.
1)
;
3)
;
5)
;
7)
;
9)
11)
;
13)
;
15)
;
17)
.
2. 1)
;
3)
;
5)
.
3. 1)
;
3)
;
5)
;
7)
.
Б. 1. 1)
;
3)
.
2. 1) 1;
3)
;
5) 1; 7) 1; 9) 1.
Контрольные вопросы
Какие выражения называются иррациональными?
Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби вида ?
Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби вида
или
?Какие выражения называются сопряженными?