Упражнения

А

1. Решите графически системы уравнений:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

2. Решите системы уравнений способом подстановки:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

3. Решите системы уравнений способом алгебраического сложения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Б

1. Решите системы уравнений способом алгебраического сложения:

1) 2)

3) 4)

5) 6) ;

7) 8)

2. Решите системы уравнений:

1) 2) 3) 4)

Указание. Введите новые переменные: , . Решите систему относительно u и v и найдите x и y из равенства , .

Ответы: А. 1. 1) (3; 1); 3) (3; 2); 5) (1; –5); 7) (2; 1); 9) (2,5; –2).

2. 1) (–3; 2); 3) (5; –4); 5) (2; –7); 7) (4; –1); 9) (125; –47). 3. 1) ( ); 3) Ø; 5) (2; 7); 7) (–1; 2); 9) (4; 5).

Б. 1. 1) (3; –3); 3) (10; 5); 5) ; 7) (20; 3). 2. 1) ( ); 3) (4; –4).

Контрольные вопросы

1. Что такое линейное уравнение с двумя переменными?

2. Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?

3. Что такое система уравнений?

4. Что значит решить систему уравнений?

5. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений?

6. Какие способы решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными вы знаете?

§ 4. Решение системы двух линейных уравнений с помощью определителей

Решим систему способом алгебраического сложения:

  .

.

  .

Разность обозначают символом и называют определителем второго порядка. , , , – элементы определителя. Определитель второго порядка имеет 2 строки и 2 столбца.

Аналогично получим:

= ,

= .

Обозначим определители , , .

Тогда , . Эти формулы называются формулами Крамера. (Крамер – швейцарский математик, 1704–1752 гг.).

Δ – это главный определитель.

и – это вспомогательные определители.

Чтобы получить , нужно заменить в главном определителе коэффициенты при х свободными членами. Чтобы получить , нужно заменить в главном определителе коэффициенты при y свободными членами.

Пример: Решить систему с помощью определителей.

.

Решение. ,

,

,

; .

Ответ: {(4, 3)}.

Исследование системы двух линейных уравнений с помощью определителей

Чтобы узнать, какое решение имеет система, нужно исследовать ее.

Первый случай.

. Это значит, что = ≠ 0; , .

В этом случае система имеет единственное решение.

Второй случай. , ≠ 0 или ≠ 0. Пусть ≠ 0. Это значит, что = = 0, .

, , .

Объединим обе пропорции в одну: .

Система не имеет решения.

Третий случай. . Это значит, что .

Система имеет бесчисленное множество решений.

Примеры: Исследовать и решить систему.

1. .

Решение. Найдем определители:

,

,

.

Система имеет бесчисленное множество решений.

2. .

Решение. .

Система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители:

,

.

Таким образом, , .

Ответ: S = {(1, –2)}.

3. .

Решение. ,  .

Система не имеет решений.

Новые слова и словосочетания: гла́вный определи́тель систéмы, вспомога́тельный определи́тель систе́мы, элемéнты строки́, элемéнт столбца́, строкá, столбéц.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Исследуйте и решить систему с помощью определителей:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

Ответы: 1. 1) . 3) Система не имеет решений. 5) Система не имеет решений. 7)  . 9)  .11) .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое главный определитель системы?

2. Что такое вспомогательные определители системы?

3. Напишите формулы Крамера.