Упражнения с решениями

1. Найдите область определения функции: .

Решение. Область определения логарифмической функции – это множество положительных чисел, т.е. . Решим это квадратное неравенство методом интервалов: , .

Ответ:

2. Постройте график функции: .

Решение. Область определения данной функции (упр. 1).

Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Если , то , , .

График функции изображен на рис. 9.8.

Рисунок 9.8

3. П остройте график функции .

Решение. Найдем область определения и используем основное логарифмическое тождество:

Рисунок 9.9

График функции изображен на рис. 9.9.

4. Постройте график функции .

Решение. Построим график функции при (рис. 9.10 а). Отобразим его симметрично относительно оси Оу (рис. 9.10 б). Этот график сдвинем на 1 единицу влево по оси Ох (рис. 9.10 в).

Рисунок 9.10 а Рисунок 9.10 б

Рисунок 9.10 в

Упражнения

1. Найдите область определения функций:

А. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Б. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2. Постройте графики функций:

А. 1) ; 2) ; 3) .

Б. 1) ; 2) ; 3) .

В. 1) ; 2) ; 3) .

Ответы.1. А. 1) ; 2) ; 3) ; 4)  ; 5) ; 6) .

Б. 1) ; 2)  ; 3) ; 4) ; 5) .

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется логарифмической?

2. Как называется график логарифмической функции?

3. Назовите свойства логарифмической функции, если .

4. Назовите свойства логарифмической функции, если .

5. Почему показательная функция и логарифмическая функция – это обратные функции?

§ 7. Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение – это уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифма или в основании логарифма.

Пример: , − это логарифмические уравнения.

Основные способы решения логарифмических уравнений

I. Уравнение вида , , равносильно уравнению , если , .

II. При решении логарифмических уравнений часто вводят новую переменную. Например, уравнение вида , , c помощью подстановки приводится к квадратному уравнению .

III. При решении показательно-степенных уравнений можно использовать метод логарифмирования.

Логарифмирование − это преобразование, при котором логарифм выражения приводится к сумме или разности логарифмов переменных.

Пример: Прологарифмируйте выражение по основанию 10 (все переменные положительные): .

Решение: .

Если в показательно-степенном уравнении в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Слова и словосочетания: логарифми́ческое уравне́ние; логарифми́рование, логарифми́ровать-прологарифми́ровать.

Упражнения с решениями

1. Решите уравнение .

Решение. Найдем область определения . По определению логарифма: .

Ответ: .

2. Решите уравнение .

Решение. Найдем область определения

Тогда .

Ответ: .

3. Решите уравнение .

Решение. Найдем область определения .

Умножим обе части уравнения на 2: .

Тогда .

Ответ: .

4. Решите уравнение .

Решение. Найдем область определения .

Преобразуем данное уравнение:

.

Пусть , тогда

Ответ: .

5. Решите уравнение .

Решение. Найдем область определения .

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: . Так как . Тогда

Ответ: .

6. Решите уравнение .

Решение. Найдем область определения .

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: .

Пусть , тогда

Ответ: .

7. Решите уравнение: .

Решение. Найдем область определения .

Преобразуем данное уравнение: . Так как , то получим .

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6:

Ответ: .

8. Решите уравнение: .

Решение. Найдем область определения .

Перейдем к одному основанию логарифмов: . Так как , то . Тогда

Ответ: .

9. Решите уравнение: , где .

Решение. Найдем область определения .

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию а: .

Пусть , тогда

Ответ: .

10. Решите уравнение: .

Решение. Найдем область определения .

Преобразуем данное уравнение:

.

Пусть , тогда

Ответ: .