Упражнения с решениями
Вычислите
.
Решение.
Пусть
,
тогда по определению логарифма
.
Решим уравнение
:
,
.
Ответ:
.
2. Вычислите
.
Решение.
Пусть
,
тогда
.
Приведем обе части уравнения к одному
основанию:
,
.
Уравнение примет вид:
.
Так как
,
,
то
,
.
Ответ:
.
3. Вычислите
.
Решение. Используем основное логарифмическое тождество.
.
Ответ:
.
Найдите
,
если
и
.
Решение.
Имеем
;
;
.
Тогда
.
Ответ: .
5. Найдите
,
если
и
.
Решение.
Разложим числа 168, 54, 24 и 12 на множители:
,
,
,
.
Пусть
и
,
тогда:
,
,
.
Получим систему уравнений:
.
Подставим эти значения в
равенство для определения
,
получим
.
Ответ: .
Упростите
.
Решение.
.
Ответ:
.
7. Упростите
.
Решение.
.
Ответ:
.
Упражнения
Вычислите:
А. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
.
Б. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
В. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Найдите х, если:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Найдите:
А. 1)
,
если
;
2)
;
3)
.
Б. 1)
,
если
;
2)
,
если
,
;
3)
,
если
,
;
4)
,
если
,
;
5)
,
если
.
В. 1)
,
если
,
;
2)
,
если
,
;
3)
,
если
,
;
4)
,
если
,
;
5)
,
если
,
.
Упростите:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Ответы: 1. А. 1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) 5; 5) 6; 6) – 2; 10) 2; 11) 50.
Б. 1)
;
2)
;
3) 1; 4) 160; 5) 4. В. 1) 0,25; 2) 144; 3) 2; 4)
.
2. 1) 4; 2) 8;
3) 512; 4)
.
3. А. 1)
;
2) 1; 3) – 1.
Б. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
В. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
4. 1)
1,5; 2) 6; 3) 
;
4)
;
5)
.
Контрольные вопросы
Чему равен логарифм положительного числа b по основанию а?
Чему равно основание десятичного логарифма?
Как называется логарифм, если его основание равно е?
Сформулируйте основное логарифмическое тождество.
Назовите свойства логарифмов.
Почему логарифмы существуют только для положительных чисел?
Чему равен логарифм произведения?
Чему равен логарифм частного?
Чему равен логарифм степени?
Какой вид имеет формула перехода от основания b к основанию а?
§ 6. Логарифмическая функция
Логарифмическая функция
– это функция вида
,
,
,
xR.
Построим графики функций:
(рис. 9.7 а) и
(рис. 9.7
б).
Рисунок 9.7 а Рисунок 9.7 б
Графиком логарифмической функции является экспонента.
Свойства функции :
..
Точка пересечения с осью Ох (1; 0).
Если а > 1, то функция возрастает; если 0 < а < 1, то функция убывает.
Если а > 1, то функция положительна при
и отрицательна при
.
Если 0 < а < 1, то функция положительна
при
и отрицательна при
.Функция общего вида.
Вертикальная асимптота .
Показательная функция и логарифмическая функция – это обратные функции. Их графики симметричны относительно прямой .
Слова и словосочетания: логарифми́ческая фу́нкция.