Упражнения

1. Решите неравенства:

А. 1) ; 2) ; 3) ; Б. 1) ; 2) ; 3) ;	4) ; 5) ; 6) ; 4) ; 5) ; 6) ;		7) ; 8) ; 9) . 7) ; 8) .
В. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;		6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) .

2. Решите системы неравенств:

А. 1) 2) 3)	4) 5) 6)		7) 8)
Б. 1) 2)		3) 4)
В. 1) 2) 3)		4) 5) 6)

3. Решите двойные неравенства:

Б. 1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8)

Ответы: 1. А. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) нет решений; 9) – 2.

Б. 1) ; 3) ; 4) нет решений; 5) нет решений; 6) нет решений; 7) нет решений; 8) ; 9) .

В. 1) ; 3) нет решений; 4) ; 5) нет решений; 6) 0,4; 7) ;

9) нет решений; 10) – 1,5.

2. А. 1) ; 2) ; 3) ; 8) .

Б. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

В. 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) .

3. Б. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Контрольные вопросы

1. Какие неравенства называются линейными?

2. Какие неравенства называются квадратными?

3. Как расположена парабола , если

1) a>0, d<0; 2) a>0, d>0;

3) a>0, d=0; 4) a<0, d<0;

5) a<0, d>0; 6) a<0, d=0.

§ 5. Решение неравенств методом интервалов

Рациональные неравенства , где  многочлен степени n, , решают методом интервалов.

Если , то умножим обе части неравенства на −1 и изменим знак неравенства на противоположный.

Найдем корни многочлена . Тогда неравенство можно записать в виде , где − корни многочлена.

Если многочлен не имеет действительных корней, то знак многочлена совпадает со знаком .

Разделим числовую ось на интервалы , , , …, и определим знак произведения в каждом интервале.

Рассмотрим неравенство четвертой степени: , . Пусть , , , − корни многочлена. Разложим многочлен на множители. Неравенство примет вид , где − корни многочлена. Точки , , , делят числовую ось на пять интервалов: , , , , . Определим знак левой части неравенства в каждом интервале.

Таблица для определения знаков примет вид

		+	+	+	+
			+	+	+
				+	+
					+
	+		+		+

Изменение знаков можно показать на числовой оси с помощью кривой, которую чертят сверху справа налево (рис. 8.9).

Если неравенство не содержит множители вида то при решении таких неравенств можно определить знак только в одном интервале (крайний справа), а затем изменять при переходе из одного интервала в другой (справа налево). На тех интервалах, где кривая проходит над числовой осью, выполняется неравенство ; на тех интервалах, где кривая проходит под числовой осью, выполняется неравенство .

Если неравенство содержит множители вида то знак слева и справа от точки х = а не изменится и кривая не проходит через эту точку.

При n = 4 решение неравенства имеет вид . Решение неравенства имеет вид .

Аналогично решают неравенства, если степень многочлена n > 4.

Дробно-рациональное неравенство , , где  многочлен степени n,  многочлен степени m, равносильно неравенству . Такие неравенства тоже решают методом интервалов.

При решении нестрогих неравенств сначала решают уравнение , а потом строгое неравенство .

Слова и словосочетания: ме́тод интерва́лов, знак нера́венства в ка́ждом интерва́ле, пере­хо́д из одного́ интерва́ла в друго́й, рациона́льное нера́венство, дро́бно– рациона́льное нера́венство.