Свойства равносильных уравнений

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, то получим равносильное уравнение.

Следствие: Член уравнения можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля), то получим равносильное уравнение.

При решении уравнений мы заменяем сложные уравнения более простыми, но равносильными уравнениями.

Новые слова и словосочетания: ра́венство, ве́рное ра́венство, неве́рное ра́венство, числово́е ра́венство, ра́венство с переме́нными, ле́вая и пра́вая ча́сти (чего?) ра́венства, о́бласть определе́ния (чего?) ра́венства, то́ждество, уравне́ние, реше́ние (чего?) уравне́ния, мно́жество (чего?) корне́й уравне́ния, равноси́льные (эквивале́нтные) уравне́ния, мно́жества корне́й совпада́ют.

Контрольные вопросы

1. Что называется равенством, тождеством, уравнением?

2. Что такое область допустимых значений переменной?

3. Что называется корнем уравнения?

4. Какие уравнения называются равносильными?

5. Назовите свойства равносильных уравнений.

§ 2. Линейные уравнения

Линейное уравнение это уравнение вида (1) .

Здесь a, b, c, d – заданные числа; х – переменная величина.

Если в уравнении (1) а ≠ с, то уравнение называется уравнением первой степени.

Линейные уравнения решаем так:

;

.

Любое линейное уравнение эквивалентно уравнению . Откуда .

Чтобы решить линейное уравнение, нужно данное уравнение привести к виду . Это делаем так:

1. Если в уравнении есть дробные члены, нужно освободиться от них. Для этого умножаем все члены уравнения на наименьший общий знаменатель.

2. Если есть скобки, то их нужно раскрыть.

3. Переносим все члены с переменной в одну часть, а свободные члены в другую часть уравнения.

4. Приводим подобные члены.

5. Если есть буквенные коэффициенты, выносим переменную за скобку. В результате получим уравнение вида .

6. Разделим обе части уравнения на коэффициент при х.

Примеры:

Решить уравнение:

1. .

Решение:

1. изменим знак перед вторым членом и у знаменателя:

, .

Наименьший общий знаменатель: .

2) умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель.

.

3) раскроем скобки:

.

4) приведем подобные члены в левой и правой частях уравнения:

5) перенесем члены, которые содержат переменную, в левую часть, а другие члены в правую часть:

6) еще раз приведем подобные члены: .

7) разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной:

Ответ: .

2.

;

Умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель : .

Раскроем скобки и приведем подобные члены: ;

; . Ответ: Ø.

3. .

Чтобы узнать, сколько корней имеет уравнение, для этого нужно его исследовать.

Так как линейное уравнение можно привести к виду и , тогда:

1. если m ≠ 0, то уравнение имеет один корень;

2. если m = 0, а n ≠ 0, то уравнение не имеет корней;

3. если m = 0 и n = 0, то уравнение имеет бесконечное множество корней.