§ 3. Показательные неравенства
Показательное неравенство – это неравенство, в котором переменная находится в показателе степени.
Пример:
,
− это показательные неравенства.
Основные способы решения показательных неравенств
I. Неравенство
вида
;
где
,
,
равносильно неравенству
при
,
или неравенству
при
.
II. При
решении неравенств вида
(основание степени содержит переменную)
нужно рассмотреть два случая:
и
.
Решение таких неравенств сводится к
решению двух систем:
а)
б)
Слова и словосочетания: показа́тельное нера́венство.
Упражнения с решениями
Решите неравенство
.
Решение.
Так как
,
то
.
Основание степени больше, чем 1,
поэтому данное уравнение равносильно
уравнению
.
Ответ: .
Решите неравенство
.
Решение.
Так как
,
то данное уравнение равносильно уравнению
.
Ответ: .
Решите неравенство
.
Решение.
Пусть
,
тогда
.
Ответ: .
Решите неравенство
.
Решение. Решим совокупность двух систем неравенств:
.
Ответ: .
Упражнения
Решите неравенства:
А. 1)
2)
3)
4) ;
5)
|
6)
7)
8)
9)
|
Б. 1)
2)
3)
|
4)
5)
|
В. 1)
2)
3)
4)
|
5)
6)
7)
8)
9) . |
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
Ответы: 1. А.
1)
;
2)
;
3)
;
5)
.
Б. 1) 
;
2)
;
3)
;
4)
;
5) 
.
B. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6) 
;
7)
;
8)
;
9) 
.
Контрольные вопросы
Какое неравенство называется показательным?
Какому неравенству равносильно неравенство ?
Какие случаи нужно рассмотреть при решении неравенства ?
§ 4. Обратная функция
Пусть функция
монотонна в своей области определения
.
Тогда каждому значению
соответствует единственное значение
и обратно: каждое значение
соответствует единственному
.
Обратная функция
по отношению к функции
− это функция, которая определена на
,
где каждому
ставится в соответствие
(х удовлетворяет уравнению
).
Для нахождения функции,
обратной данной
,
надо выразить х через у:
,
а затем записать полученную формулу в
виде
.
Если функции
и
являются взаимно обратными, то
и
.
Графики взаимно обратных
функций симметричны относительно прямой
(рис. 9.4).
Рисунок 9.4
Если функция не является монотонной во всей области определения, то можно получить обратную ей функцию только на интервале монотонности.
П
Рисунок 9.5
ример. Функция определена на интервале
.
Она имеет два интервала монотонности:
функция возрастает при
и убывает при
.
Для получения обратной функции
нужно взять один из этих интервалов.
Получим функцию, обратную функцию
.
На интервале
обратная функция:
,
,
.
Графики и симметричны относительно прямой (рис. 9.5).
Слова и словосочетания: обра́тная по отноше́нию к да́нной фу́нкции, взаи́мно обра́тные фу́нкции.