Контрольные вопросы
Что называется решением неравенства с переменной?
Что такое равносильные неравенства?
Назовите свойства равносильных неравенств.
Почему нельзя умножать неравенство на выражение, знак которого мы не знаем?
Что является решением системы неравенств?
Что является решением совокупности неравенств?
§ 4. Решение линейных и квадратных неравенств
Линейное неравенство
– это неравенство вида
(или
).
Если a > 0, то неравенство
равносильно неравенству
;
если a < 0, то неравенство
равносильно неравенству
.
Пример.
Решите неравенство
.
Решение.
.
Квадратное неравенство или
неравенство второй степени
это неравенство вида
(или
),
где
.
При решении квадратных неравенств возможны три случая: D > 0, D = 0, D < 0, где дискриминант.
I. Если
,
то график квадратного трехчлена
не пересекает ось Ох и лежит выше этой
оси при а > 0 (рис.8.3 а) и ниже ее при а <
0 (рис. 8.3 б).
Если а > 0, то при х R;
при х .
Если а < 0, то при х ;
при х R.
Рисунок 8.3 а Рисунок 8.3 б
Таким образом, если квадратный трехчлен не имеет действительных корней, то знак трехчлена совпадает со знаком а.
II. Если
,
то график квадратного трехчлена
пересекает ось Ох в точках
и
(
),
где
и
–
корни квадратного уравнения
.
Эти точки разбивают числовую прямую на
три интервала
.
Если а > 0 (рис. 8.4 а), то
при
;
при
.
Если а < 0 (рис. 8.4 б), то при ;
при .
Рисунок 8.4 а Рисунок 8.4 б
III. Если
,
то график квадратного трехчлена
касается оси Ох в точке
,
где
− единственный корень квадратного
уравнения
.
Точка
разбивает числовую прямую на два
интервала
.
Если а > 0 (рис. 8.5 а), то
при
;
при х .
Если а < 0 (рис. 8.5 б), то при х ;
при .
Рисунок 8.5 а Рисунок 8.5 б
При решении квадратных
неравенств не нужно точно строить
параболу. Нужно найти корни уравнения
(при
)
и построить схему графика.
Слова и словосочетания: лине́йное нера́венство, квадра́тное нера́венство, нера́венство второ́й сте́пени, каса́ться–касну́ться (чего?, где?); разби́ть (что?, на что?) числову́ю ось, схе́ма гра́фика.
Упражнения с решениями
Решите неравенство
.
Решение.
График функции
парабола, ветви которой направлены
вверх, так как
.
Точки пересечения с осью Ох:
и
.
Построим схему графика (рис. 8.6).
Ответ:
.
Решите неравенство
.
Решение.
График функции
парабола, ветви которой направлены
вверх. Точек пересечения с осью Ох нет,
так как
.
Построим схему графика (рис. 8.7).
Ответ: .
Решите неравенство
.
Решение.
График функции
– парабола, ветви которой направлены
вниз. Точки пересечения с осью Ох:
и
.
Построим схему графика (рис. 8.8).
Ответ:
.
Рисунок 8.6 Рисунок 8.7 Рисунок 8.8
Решите систему неравенств
Решение.
Найдем решение первого неравенства:
,
поэтому
.
Найдем решение второго
неравенства:
,
отсюда
.
Найдем пересечение множеств решений:
.
Ответ:
.