Упражнения
Докажите, что при любом значении а верны неравенства:
А. 1)
2)
Б. 1)
2)
В.
|
3)
4)
3)
4)
|
;
;
;
;
.
;
.
;
.
Докажите неравенства:
1)
,
где
,
;
2)
,
где а и b одного знака;
3)
,
где
;
4)
,
где
,
;
5)
,
где а, b, с
действительные числа;
6)
,
где
,
,
;
7)
;
8)
.
Контрольные вопросы
Что значит доказать неравенство?
Назовите способы доказательства неравенств.
§ 3. Неравенства с переменными, системы и совокупности неравенств
Если неравенство содержит переменную, то можно найти такие значения переменной, при которых неравенство верное.
Решение неравенства – это значение переменной, которое обращает неравенство с переменной в верное числовое неравенство.
Решить неравенство − значит найти множество его решений.
Пример. Неравенство
верно, если
.
Следовательно,
есть множество решений неравенства
.
Множество решений неравенства можно показать на числовой оси (рис. 8.2).
Равносильные неравенства с одной переменной – это неравенства, у которых множества решений совпадают.
Примеры:
1. Неравенства
и
имеют одинаковые множества решений
.
Эти неравенства – равносильные.
2. Неравенство
верно при
.
Неравенство
верно при
.
Множества решений этих неравенств не
совпадают. Это неравносильные неравенства.
Свойства равносильных неравенств
Пусть
– неравенство,
– выражение, которое имеет смысл при
всех действительных значениях х,
.
1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Если
,
то
.
2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при всех x R, перенести из одной части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное данному.
Если
,
то
.
3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Если
и
,
,
то
.
4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Если
и
,
,
то
.
Запомните: нельзя умножать неравенство на выражение, знак которого мы не знаем!
Систему неравенств с одной переменной в общем виде можно записать так:
Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, нужно решить каждое неравенство отдельно и найти пересечение множеств решений всех неравенств, которые входят в систему.
Решение системы неравенств − это значение переменной, при котором каждое неравенство системы верно. Решить систему неравенств − это значит найти множество ее решений.
Совокупность неравенств с одной переменной в общем виде можно записать так:
Чтобы решить совокупность неравенств с одной переменной, нужно решить каждое неравенство отдельно и найти объединение множеств решений всех неравенств, которые входят в совокупность.
Решение совокупности неравенств − это значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств совокупности верно. Решить совокупность неравенств − это значит найти множество ее решений.
Слова и словосочетания: нера́венство с переме́нной, равноси́льные нера́венства; нера́венство, равноси́льное да́нному; измени́ть знак нера́венства на противополо́жный; систе́ма нера́венств, совоку́пность нера́венств.