§ 6. Дробно-линейная функция
Дробно-линейная функция
– это функция вида
,
где
.
Для построения графика выделим
целую часть:
.
П
усть
,
,
,
тогда дробно-линейную функцию можно
привести к виду
.
График функции
можно получить, если сдвинуть гиперболу
на
единиц по оси Ох и на
единиц по оси Оу. Направление сдвига
зависит от знаков m и n (рис. 7.24).
П
Рисунок 7.24
ри этом сдвиге асимптоты гиперболы (у = 0 и х = 0) перейдут в прямые y = n
и
x = – m
.
Свойства функции .
.
.Точки пересечения с осями координат
и
.Функция возрастает, если k < 0 , и убывает, если k > 0.
Интервалы знакопостоянства зависят от точек пересечения с осями координат и от знака k.
Функция общего вида, если она не имеет вид .
Вертикальная асимптота
и горизонтальная асимптота
.
График дробно– линейной функции – гипербола.
Обратная пропорциональность − это частный случай дробно– линейной функции.
Слова и словосочетания: дро́бно– лине́йная фу́нкция.
Упражнения с решениями
Постройте график функции
и напишите ее свойства.
Решение. Выделим целую часть:
.
П
Рисунок 7.25
остроим график функции . Сдвинем его на 2 единицы вправо по оси Ох и на 2 единицы вверх по оси Оу (рис. 7.25).Свойства функции :
.
.Точки пересечения с осями координат
и
.Функция убывает на всей области определения.
Функция положительна при
,
функция отрицательна при
.Ф
Рис. 7.26
ункция общего вида.Вертикальная асимптота
и горизонтальная асимптота
.
Постройте график функции
.
Решение. График функции построили в упражнении 1. Для того, чтобы построить график функции , нужно часть графика функции , которая лежит ниже оси Ох, отобразить симметрично относительно оси Ох (рис. 7.26).
Упражнения
1. Постройте графики функций:
А. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Б. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
В. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6) 
.
Г. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5) 
.
Д. 1)
;
2)
;
3)
;
4) 
.
2. Напишите свойства функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Контрольные вопросы
Какая функция называется дробно-линейной функцией?
Как называется график дробно– линейной функции?
Назовите свойства дробно-линейной функции.
Как преобразовать функцию к виду с помощью выделения целой части?
§ 7. Квадратичная функция
Квадратичная функция
– это функция вида
,
где
,
.
На рисунке 7.27 показаны графики
функций:
,
,
,
.
График квадратичной функции – это парабола. Парабола – это кривая, которая состоит из двух ветвей и вершины. Ветви симметричны относительно оси Оу.
Е
Рисунок 7.27
сли а>0, то ветви параболы направлены вверх и вершина – это минимум (min) функции. Если а<0, то ветви параболы направлены вниз и вершина это максимум (max) функции (рис. 7.27).
Для построения графика функции
выделим полный квадрат:
.
Пусть
,
,
тогда квадратичную функцию можно
привести к виду
.
График функции
можно получить, если сдвинуть параболу
на
единиц по оси Ох и на
единиц по оси Оу. Направление сдвига
зависит от знаков k и p.
Координаты вершины параболы
можно определить по формулам
,
.
Точка с координатами
есть вершина параболы.
Для более точного построения
графика квадратичной функции нужно
найти точки пересечения с осями координат:
с осью Ох 
и
,
где
и
корни уравнения
;
с осью Оу – (0; с).
Свойства функции .
.
.Точка пересечения с осями координат (0; 0).
при х = 0.Функция убывает, если , функция возрастает, если
.Функция положительна при
.Функция четная, т. к.
.
График симметричен относительно оси
Оу.Асимптот нет.
Слова и словосочетания: квадрати́чная фу́нкция, пара́бола, верши́на, по́лный квадра́т, ма́ксимум, ми́нимум.