Раздел 6. Квадратные уравнения и системы уравнений
§ 1. Квадратные уравнения
Квадратное уравнение
(уравнение второй
степени с одной переменной) –
это уравнение вида
,
где
.
Неполные квадратные уравнения
Если в квадратном уравнении
,
или
,
или
и
,
то оно называется неполным
квадратным уравнением.
Решение неполных квадратных уравнений.
I.
(
):
II.
(
):
III.
(
):
.
Приведённые квадратные уравнения
Если обе части уравнения
разделить
на
,
то получим:
.
Обозначим
,
,
получим общий вид приведённого
квадратного уравнения:
.
Здесь
второй коэффициент;
свободный член.
Выведем формулу, по которой находят корни такого уравнения:
,
,
,
,
,
,
. (1)
Вывод формулы корней квадратного уравнения общего вида
– это уравнение общего
вида
.
Его можно записать так: .
Получили приведённое квадратное уравнение. Найдём его корни по формуле (1):
.
Тогда
.
(2)
Исследование корней квадратного уравнения
Чтобы узнать, сколько корней и какие корни имеет уравнение , нужно исследовать его. Корни квадратного уравнения находим по формуле (2): .
Выражение
называется дискриминантом. В зависимости
от знака дискриминанта могут быть 3
случая решения квадратного уравнения:
Если
,
то уравнение имеет два действительных
корня:
.
2. Если
,
то уравнение имеет один действительный
корень:
.
3. Если
,
то уравнение не имеет действительных
корней:
.
Слова и словосочетания: квадра́тное уравне́ние, уравне́ние второ́й сте́пени, непо́лное квадра́тное уравне́ние, по́лное квадра́тное уравне́ние, приве́денное квадра́тное уравне́ние, дискримина́нт.
Упражнения с решениями
1. Решите квадратные уравнения:
1)
;
;
Ответ:
.
2)
,
,
,
.
Ответ:
.
3)
,
;
,
,
,
,
.
Ответ :
.
4)
,
р = – 2, q = – 15 это приведённое квадратное уравнение.
По формуле (1):
,
,
.
Ответ: {– 3; 5}.
5)
,
р = 1, q = – 2, это приведённое квадратное уравнение.
По формуле (1):
,
,
.
Ответ: {– 2; 1}.
6)
,
а = 2, b = – 3, с = – 5 это уравнение общего вида.
По формуле (2):
,
,
.
Ответ: {– 1; 2,5}.
2. При каком
значении m уравнение
имеет один корень?
Решение. Уравнение имеет один
корень, если D = 0, D = 100 – 4m =0;
.
Уравнение имеет один корень при m = 25.
Упражнения
1. Решите неполные квадратные уравнения:
А. 1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
.
Б. 1)
;
2) 
;
3) 
.
2. Решите уравнения:
А. 1)
;
2)
;
3)
;
4) 
;
5)
.
Б. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Ответы: 2.А.
1)
;
2)
;
4)
.
Б. 1)
;
2)
;
3)
.
Контрольные вопросы
1. Какое уравнение называется квадратным?
2. Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями и как они решаются?
3. Какое уравнение называется приведённым квадратным уравнением?
4. Чему равны корни приведённого квадратного уравнения?
5. Чему равны корни уравнения общего вида?
6. Сколько корней может иметь квадратное уравнение и от чего это зависит?