Контрольные вопросы

1. Что такое иррациональное неравенство?

2. Как решить неравенство вида ?

3. Как решить неравенство вида ?

Раздел 9. Показательная и логарифмическая функции

§ 1. Показательная функция

Показательная функция – это функция вида , a1, a>0, где xR.

Построим графики функций: y=2^x (рис. 9.1а) и (рис. 9.1б).

Рисунок 9.1 а Рисунок 9.1 б

Графиком показательной функции является экспонента.

Свойства функции :

8. .

9. .

10. Точка пересечения с осью Оу (0; 1).

11. Если а>1, то функция возрастает; если 0<а<1, то функция убывает.

12. Функция положительна при .

13. Функция общего вида, т.к. .

14. Горизонтальная асимптота .

Слова и словосочетания: показа́тельная фу́нкция, экспоне́нта.

Упражнения с решениями

1. Постройте график функции .

Решение. Построим график функции (рис. 9.2а). Отобразим его симметрично относительно оси Оу (рис. 9.2 б).

Рисунок 9.2 а Рисунок 9.2 б

2. Постройте график функции .

Решение. Построим график функции при x0 (рис. 9.3 а). Затем эту часть графика отобразим симметрично относительно оси Оу (рис. 9.3 б). Сдвинем этот график на 1 единицу вправо по оси Ох (рис. 9.3 в).

Рисунок 9.3 а Рисунок 9.3 б Рисунок 9.3 в

Упражнения

1. Что больше: 1) или ; 2) или ; 3) или ; 4) или ; 5) или ; 6) или ?

2. Сравните с единицей: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

3. Постройте графики функций:

А. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Б. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

В. 1) ; 2) .

4. Напишите свойства функций: 1) ; 2) ; 3) .

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется показательной?

2. Как называется график показательной функции?

3. Назовите свойства показательной функции, если .

4. Назовите свойства показательной функции, если .

§ 2. Показательные уравнения

Показательное уравнение – это уравнение, в котором переменная находится в показателе степени.

Пример: , − это показательные уравнения.

Основные способы решения показательных уравнений

I. Уравнение вида , равносильно уравнению (так как если основания степени равны, то равны их показатели).

II. Уравнение вида c помощью подстановки приводится к квадратному уравнению .

III. Уравнение вида – это показательно-степенное уравнение, так как переменная находится в основании и в показателе степени. Для решения такого уравнения нужно рассмотреть четыре случая: когда основание степени равно – 1, 0, 1 и когда оно отлично от указанных значений.

Слова и словосочетания: показа́тельное уравне́ние; показа́тельно-степенно́е уравне́ние.