14.2. Токи при размыкании и замыкании цепи.

При изменении силы тока в контуре возникает Э.Д.С. самоиндукции и в контуре появляются дополнительные токи самоиндукции. Эти токи, направлены так, чтобы препятствовать изменению тока в цепи. При размыкании цепи, содержащей внешнюю Э.Д.С., сопротивление и индуктивность, ток, текущий через индуктивность L начнет уменьшаться, что приведет возникновению Э.Д.С. индукции

E_i = - L.dI/dt, (14.10.)

препятствующей, уменьшению первичного тока. В каждый момент времени ток в цепи будет определяться законом Ома

I = E_i/R, (14.11.)

или

I.R = - L.dI/dt. (14.12.)

Разделив переменные, dI/I = - (R/L).dt. Интегрируя это уравнение по I (от I₀ до I₁) и по t (от 0 до t₁),

ln(I₁/I₀) = - (R.t)/L, (14.13.)

или

I₁ = I₀.e^{- t/t}, (14.14.)

где t = L/R - постоянная для данной цепи (время релаксации), т.е. временем, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Рис. 75. Магнитная энергия катушки. При размыкании ключа K лампа ярко вспыхивает.

В процессе отключения источника тока, сила тока убывает по экспоненциальному закону. И чем больше индуктивность цепи и меньше сопротивление, тем больше t, и медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании. При замыкании цепи помимо внешней Э.Д.С. возникает и Э.Д.С. самоиндукции

E_i = - L.dI/dt, (14.15.)

препятствующая возрастанию тока. По закону Ома, I.R = E₀ + E_i, или

I.R = E₀ - L.dI/dt. Сделав замену переменных U = (I.R - E₀) и получим dU/U = - (1/t).dt, (14.16.)

где t - время релаксации. В момент замыкания (t = 0) сила тока I = 0, и

U = - E₀. (14.17.)

Интегрируя по U [от - E₀ до (I.R - E₀)] и по t (от 0 до t₁),

ln[(I.R - E₀)/(- E₀) = - t/t, (14.18.)

или

I = I₀.(1 - e^-t/t), (14.19.)

где I₀ = E₀/R - установившийся ток (при t®¥). Cила тока возрастает от

I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению

I₀ = E₀/R. (14.20.)

Скорость нарастания тока определяется также временем релаксации

t = L/R, (14.21.)

что и скорость убывания тока. Если в цепи течет ток

I₀ = E₀/R₀, (14.22.)

то при размыкании цепи ток меняется по формуле

I=I₀e^{- t/t} . (14.23.)

Подставив в нее выражения для I₀ и t, получим

I=(E₀/R₀).e^{- Rt/L}. (14.24.)

Э.Д.С. самоиндукции

E_i=-L.dI/dt=(R/R₀)E₀.e^{- Rt/L}, (14.25.)

т.е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R₀ >> 1) обладающей большой индуктивностью, Э.Д.С. самоиндукции может во много раз превышать Э.Д.С. источника.

При значительном увеличении сопротивления цепи (R/R₀>>1), обладающей боль­шой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникнове­ние значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.