17.1. Гармонические колебания в

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ.

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменя­ются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнит­ного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний использует­ся колебательный контур — это цепь, состоящая из включенных последовательно индуктивности L, емкости C и сопротивления R. В контуре наблюдаются электромагнитные колебания, при которых электрические и магнитные величины периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрических и магнитных полей. В момент времени t = 0 энергия электрического поля между обкладками конденсатора равна

W_Э = Q²/(2C). (17.1.)

При замыкании конденсатора на катушку индуктивности L, по цепи потечет изменяющийся по времени электрический ток I и конденсатор начнет разряжаться. В индуктивности возникнет магнитное поле, энергия которого будет увеличиваться до W_М = (Q^/)².L/2 = (LI²)/2. (17.2.)

При R = 0 согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура в любой момент времени будет постоянной и равной

W=W_Э +W_М = Q²/(2C)+ (Q^/)²(L/2) = const. (17.3.)

В момент времени t=T/4, конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля станет равной 0, а энергия магнитного поля (и ток) будет максимальной. После этого ток в контуре будет убывать, будет уменьшаться и энергия магнитного поля. Но, по правилу Ленца, индуктивный ток в катушке будет продолжать течь в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться с противоположной первоначальной полярностью поля. Увеличивающееся электростатическое поле будет ослаблять ток индукции, который к t = T/2 станет равным 0, а заряд на обкладках конденсатора станет максимальным, т.е. равным по величине первоначальному (но противоположной полярности). После этого начнется обратный процесс, протекающий по такому же механизму. К t = T, система вернется к первоначальному состоянию, и процесс начнется снова. Продифференцируем уравнение энергии W = Q²/(2C) + (Q^/.)².(L/2) (17.4)

по времени, отметив что Q^/ = dQ/dt. (17.5)

dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt +(L/2).2.dQ/dt.d²Q/dt² =0. (17.6)

Упростим выражение, приведя подобные величины, и получим

d²Q/dt² + (1/LC).Q = 0, (17.7)

дифференциальное уравнение относительно Q. Из него получим

Q = Q_max.cos(₀t). (17.8)

Заряд Q совершает гармонические колебания, где Q_max. - амплитуда заряда, ₀ — циклическая частотой контура равная ₀ = 1/(LC). (17.9)

Период колебаний заряда в контуре определяется по формуле

Т = 2(LC). (17.10)

Силу тока в колебательном контуре легко найти по формуле

I = dQ/dt = -₀Q_max.sin(₀t) = I_max.cos(₀t + /2), (17.11)

где I_max. = ₀Q_max. (17.12)

— амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе

U_C = Q/C = Q_max./C.cos(₀t) = U_max.cos(₀t), (17.13)

где U_max. = Q_max./C (17.14)

— амплитуда напряжения. Из уравнений для тока и напряжения следует, что колебания тока опережают по фазе колебания заряда и напряжения на угол /2, т.е. когда ток в контуре максимален заряд и напряжение на конденсаторе равны нулю. Сравним электрические колебания в контуре с колебаниями пружинного маятника, сопровождающимися взаимными превращениями кинетической и потенциальной энергий.

потенциальная энергия упругой деформации (x²).k/2 (17.15)

аналогична энергии электростатического поля (Q²)./2C, (17.16)

кинетическая энергия (m(x^/)²)/2 = (mv²)/2 (17.17)

— энергии магнитного поля (L(Q^/)²/2 = (LI²)/2, (17.18)

смещение х - заряду Q, коэффициент упругости k - обратной емкости 1/C, скорость v - силе тока I, масса m - индуктивности L.

Рис. 92. Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

Таблица сравнения электрических и механических величин.

Электрические величины Механические величины Заряд конденсатора Q(t) Координата X(t) Ток в цепи I=dq/dt Скорость V=dx/dt Индуктивность L Масса m. Величина, обратная электроемкости 1/C Жесткость k. Напряжение на конденсаторе U=q/C Упругая сила Kx. Энергия электрического поля конденсатора q2/2C Потенциальная энергия пружины kx2/2 Магнитная энергия катушки LI2/2 Кинетическая энергия mv2/2 Магнитный поток LI. Импульс Mv.

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими. Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

ω = 1/√LC. (17.19)

Амплитуда q₀ и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.