3.3. Напряженность, как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности.

Существует определенная связь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом — энергетической характеристикой поля. Если пробный заряд q совершил малое перемещение Δl вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно записать:

dA = qEdx = q(- dj). (3.19.)

Следовательно:

E_x = - (dj/dx), (3.20.)

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Аналогичные операции выполняются и для осей у и z, тогда для вектора

Е = - (idj/dx + jdj/dy + kdj/dz) = - gradj = - Ñj. (3.21.)

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Это указывает на то, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала. Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями во всех точках которых потенциал имеет одинаковые значения.

Рис. 16. Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электрических полей: a – точечный заряд; b – электрический диполь; c – два равных положительных заряда.

Это соотношение выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Здесь l – координата вдоль силовой линии.

Вектор напряжённости всегда перпендикулярен касательной эквипотенциальных поверхностей в точках их пересечения.

3.4. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля.

1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

j₁ - j₂ = (s/2e₀)(x₂ - x₁) (3.22.)

где s - поверхностная плотность заряда равная q/S, x₁ и х₂ - координаты точек пространства.

2) Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

j₁ - j₂ = sd/e₀ (3.23.)

(в пространстве между плоскостями)

j₁ - j₂ = 0. (3.24.)

(в пространстве за плоскостями), где s - поверхностная плотность заряда равная q/S, d - расстояние между плоскостями.

3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R:

a) вне сферы

j = (1/4pe₀)(q/r) (3.25.)

где q - заряд сферы, r - расстояние от центра сферы до точки.

б) внутри сферы

j = (1/4pe₀)(q/R) (3.26.)

4) Поле объемно заряженного шара радиуса R:

a) вне шара

j = (1/4pe₀)(q/r) (3.27.)

где q - заряд шара, r - расстояние от центра шара до точки пространства.

б) внутри шара

j = (1/4pe₀)(qr/R³) (3.28.)

5) Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра:

a) вне цилиндра

j₁ - j₂ = (t/2pe₀) ln(r₁/r₂) (3.29.)

где t - поверхностная плотность заряда, r_{1, 2} - расстояния от оси цилиндра до точек пространства, при r > R.

ПРИМЕР № 1.

Лекция № 4.