18.3. Уравнение максвелла для

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.

Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зре­ния не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено.

Рис. 100. Магнитное и электрическое поля.

В основе теории единого электромагнитного поля 4 уравнения:

1) Электрическое поле состоит из двух частей: потенциальной (E_Q) и вихревой (E_B), и суммарная напряженность поля равна

E = E_Q + E_B, (18.13.)

что не исключает равенства нулю как E_B (и мы наблюдаем электростатическое поле Е_Q), так и Е_Q (и мы имеем вихревое электрическое поле E_B). Для общего случая теорема циркуляции будет иметь вид

 E.dl = - (B/t).dS. (18.14.)

Из этого уравнения следует, что источниками электрических (динамических) полей могут быть не только электрические заряды, но и переменные магнитные поля.

2) Магнитные поля могут создаваться как движущимися электрическими зарядами, так и переменными электрическими полями.

H.dl = (j + D/t).dS. (18.15.)

3) Если заряды находятся внутри замкнутой поверхности, то

 D.dS = Q [теорема Гаусса]. (18.16.)

Для объемного заряда

D.dS = .dV. (18.17.)

4) Для магнитного поля теорема Гаусса имеет вид

B.dS = 0. (18.18.)

Между электрическими и магнитными величинами есть связи

D = ₀E, (18.18.)

B = ₀H, (18.19.)

j = E, (18.20.)

где ₀ - и ₀ - электрическая и магнитная постоянные, - и - диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества,

 - удельная проводимость вещества. Максвелл показал, что в природе существует единое электромагнитное поле, способное проявляться и как электрическое и как магнитное поля раздельно. Источниками электрического поля могут быть как электрические заряды, так и переменные магнитные поля, а магнитные поля могут создаваться как движущимися электрическими зарядами (токами), так и переменными электрическими полями.

Для стационарных полей

(Е = const (18.21.)

и

В = const) (18.22.)

уравнения Максвелла имеют вид:

E.dl = 0; (18.23.)

D.dS = Q; (18.24.)

H.dl = I; (18.25.)

B.dS = 0; (18.26.)

где источниками электрических полей являются стационарные заряды, а магнитных — токи проводимости. В этом случае электрические и магнитные поля независимы и могут рассматриваться раздельно.

Уравнения Мак­свелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Операциям дифференцирования в уравнениях Максвелла подвергаются вектора трехмерного пространства (E, D, B, H) и дифференциальный оператор набла

 = i(./x) + j(./y) + k(./z) (18.27.)

в теоремах Стокса и Гаусса в случае скалярного произведения записывается как div,

div B(x,y,z) = B_x/x + B_y/y + B_z/z., (18.28.)

а в случае векторного произведения — как rot,

rotE(x,y,z)=(E_z/y -E_y/z)i +(E_x/z -E_z/x)j +(E_y/x -E_x/y)k. (18.29)

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

rot.E = - B/t; (18.30)

div.D = ; (18.31)

rot.H = (j + D/t); (18.32.)

div.B = 0; (18.33.)

Из уравнений Максвелла следует, что электрическое и магнитное поля образуют единое электромагнитное поле.

Существование взаимосвязи между электрическим и магнитным полями служит причиной того, что раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, электростатическое поле создаётся системой неподвижных зарядов в одной системе координат, однако они могут двигаться относительно другой инерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второй системе подвижными, следовательно, будут создавать магнитное поле.

Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы отсчёта оказывается «чисто» электрическим или «чисто» магнитным, относительно других систем отсчёта будет представлять собой совокупность электрического и магнитных полей, образующих единое электромагнитное поле.

Физический смысл 1-го уравнения Максвелла.

Источниками вихревых магнитных полей являются токи проводимости и токи смещения.

Физический смысл. 2-го уравнения Максвелла.

Вихревое электрическое поле создается переменным магнитным полем.

Третье уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для электрических полей.

Физический смысл. Источниками электрического поля (векторов Е и D) являются заряды с плотностью r.

Четвертое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для магнитных полей.

Физический смысл. Дивергенция вектора В в любой точке пространства равняется нулю, т.е. - источников нет (магнитные заряды в природе отсутствуют). Нет ни стыков, ни источников.

ЭЛЕКТРОСТАТИКА. Для 3-х семестров.

Лекция № 1.