2.2. Применение теоремы гаусса для расчета

НЕКОТОРЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ВАКУУМЕ.

1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

E= s/2e₀. (2.10.)

где s - поверхностная плотность заряда равная q/S.

2) Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей. E = s/e₀. (2.11.)

где s - поверхностная плотность заряда равная q/S.

Рис.10.

3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

E = (1/4pe₀)(q/r²). (2.12.)

где q - заряд сферы радиуса R при r ³ R.

4) Поле объемно заряженного шара.

E = (1/4pe₀)(q/R³)r. (2.13.)

где q - заряд сферы радиуса R при R ³ r.

Рис. 11.

5) Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).

E = (1/2pe₀)(t/r). (2.14.)

где t - линейная плотность заряда равная q/l, r - расстояние от нити, R - радиус цилиндра, при r ³ R.

Рис.12. Электрическое поле заряженной нити.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией.

Рис.13. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. OO' – ось симметрии.

2.3. Теорема гаусса в дифференциальной форме.

В случаях неравномерного распределения заряда и не симметричных конфигурациях заряженных тел применяют дифференциальную форму теоремы Гаусса. Пусть заряды в пространстве распределены неравномерно ρ = f(x,y,z). В математике показано что

div D = (δD/δx) + (δD/δy) = (δD/δz), (2.15.)

D = iDx + jDy +kDz, (2.16.)

divD - скалярная величина.

Div D = ρ (2.17.)

- теорема Гаусса в дифференциальной форме.

Дивергенция электрическое смещение в данной точке поля равна объемной плотности заряда в этой точке.

Источником поля является электрическим заряд. В теореме Остроградского Гаусса содержится связь между дивергенцией и потоком одного и того же вектора. Поток вектора а через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу дивергенции этого вектора по объему V, ограниченному этой поверхностью:

Ф = _S∫adS = _V∫div a dV. (2.18.)

Заменим в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл объемным

._s∫EdS = _V∫div.E dV. (2.19.)

и представим суммарный заряд как интеграл от объемной плотности по объему

q = _V∫ρdV. (2.20.)

Тогда получим следующее выражение

_V∫div.E dV.= (1/έ₀) _V∫ρdV. (2.21.)

Так получим теорему Гаусса для вектора напряжённости электростатического поля

div.E = (ρ/έ₀), (2.22.)

в дифференциальной форме. Это первое фундаментальное уравнение электростатики.

ПРИМЕР № 1. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусом R₁ и R₂ несут соответственно заряды q₁ и q₂ . Определить напряженность электрического поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях D.

Дано: q1 q2 R1 R2

E1-? E2-?

Решение:

1) E

2)

3)

Лекция № 3.