3.1. Циркуляция вектора напряженности

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа этой силы на элементарном перемещении dl равна

dA = (Fdl) = Fdl.cosa = (1/4pe₀)(qq₀/r²)dlcosa. (3.1.)

Работа при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2

A₁₂ = ₁ ò ² dA = (qq₀/4pe₀)₁ ò ²(dr/r²) = (qq₀/4pe₀).(1/r₁ - 1/r₂) (3.2.)

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.

Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ, а электростатические силы — КОНСЕРВАТИВНЫМИ. Работа, совершаемая при перемещении заряда по любому замкнутому пути равна нулю:

òdA = 0. (3.3.)

Этот интеграл называется ЦИРКУЛЯЦИЕЙ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ.

3.2. Потенциал электростатического поля.

Тело, в потенциальном поле, обладает потенциальной энергией, за счет изменения которой, силами поля совершается работа.

Работа ΔA кулоновских сил при малом перемещении равна

ΔA = F Δl cosα = E_lqΔr = (1/4πεε₀)(Qq/r²)Δr, (3.4.)

Рис.14. Работа электрических сил при малом перемещении ∆l заряда q.

Таким образом, работа на малом перемещении зависит только от расстояния r между зарядами и его изменения Δr. Если это выражение проинтегрировать на интервале от r = r₁ до r = r₂, то можно получить

A = _r1∫^r2 Eqdr = (Qq/4πεε₀)(1/r₁ – 1/r₂), (3.5.)

Работу сил электростатического поля равна разности потенциальных энергий, которыми обладает заряд в начальной и конечной точках поля, созданного другим зарядом:

A₁₂ = (1/4pe₀)[(qQ/r₁) - (qQ/r₂)] = U₁ - U₂. (3.6.)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда q в поле заряда Q равна

U = (1/4pe₀)(qQ/r) + C. (3.7.)

Если считать, что при удалении заряда в бесконечность

(r ® ¥) его потенциальная энергия обращается в нуль, то

С = 0. Для одноименных зарядов: потенциальная энергия их взаимодействия положительна, а для разноименных — отрицательна. Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов Q_i, то при перемещении пробного заряда q работа A результирующего поля в соответствии с принципом суперпозиции будет складываться из работ A_i кулоновских полей точечных зарядов: А = ∑А_i. Так как каждый член суммы A_i не зависит от формы траектории, то и полная работа A результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек.

U = SU_i = q₀S(Q_i/4pe₀r_i) = q₀/4pe₀ S(Q_i/r_i). (3.8.)

Из этой формулы следует, что отношение U/q не зависит от q и является энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом: j = U/q. Потенциал поля, создаваемый точечным зарядом Q, равен

j = (1/4pe₀)(Q/r). (3.9.)

работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, может быть представлена как:

A₁₂ = U₁ - U₂ = q(j₁ - j₂), (3.10.)

т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Работа сил поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде

A₁₂ = ₁ò²qEdl. (3.11.)

Сравнив эти формулы получим:

j₁ - j₂ = ₁ò²Edl, (3.12.)

где интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, поскольку работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения. Таким образом,

потенциал — физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность.

Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

j = Sj_i =(1/4pe₀)S(q_i/r_i). (3.13.)

Рис. 15. Работа кулоновских сил при перемещении заряда q зависит только от расстояний r1 и r2 начальной и конечной точек траектории.

Потенциальная энергия может быть определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора начала отсчета (0). Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля. В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является вольт (В). 1 В = 1 Дж/1 Кл. 1 В есть потен­циал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж. Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку (0) удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом:

Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

φ_∞ = А_∞/q_. (4.14.)

Для наглядного представления электрического поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности. Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала. Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей.

Если пробный заряд q совершил малое перемещение Δl вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно записать:

ΔA₁₂ = qEΔ = q(φ₁ – φ₂) = – qΔφ, (3.15.)

где Δφ = φ₁ – φ₂ – изменение потенциала. Отсюда следует

E = - Δφ/Δl. (Δl → 0) (3.16.)

или

E = - dφ/dl. (3.17.)

Это соотношение выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Здесь l – координата вдоль силовой линии.

Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов:

φ = φ₁ + φ₂ + φ₃ +. (3.18.)