17.2. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой

Частоты Х₁ = A_1m cos(w₀t + ₁), Х₂ = A_2m cos(w₀t + ₂),

Taк как векторы A₁ и А₂ имеют одинаковую частоту ₀, то разность фаз (₂—₁) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет Х=Х₁+Х₂=A_mcos(w₀t+ ),

где амплитуда А и начальная фаза  соответственно задаются

соотношениями A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(φ₂ - ₁), и

tgφ = (A₁sin₁ + A₂sin ₂)/(A₁cos₁+A₂cos ₂).

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направле­нии и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (₂—₁) складываемых колебаний. При:

1) ₂-₁ = ±2m (т=0, 1, 2, ...), тогда A=A₁+A₂, т. е. амплитуда результиру­ющего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) ₂-₁ = ±(2m+1) (т=0,1,2,...), тогда A=|A₁–A₂|, т. е. амплитуда резуль­тирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гар­монических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В ре­зультате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющей­ся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Любые сложные периодические колебания s=f(t) можно представить в виде супер­позиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амп­литудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте ₀:

S = f(t) = (A₀/2)+A₁cos(w₀t+₁)+A₂ cos(2w₀t + ₂) + …..+ A_m cos(mw₀t + ₂),

Представление периодической функции в таком виде связывают с понятием гар­монического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье.* Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ₀, 2₀, 3₀, ..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложно­го периодического колебания.

Рис. 93.

17.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой час­тоты , происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем Х = Acos(w₀), У = Вcos(w₀t + ά),

где  — разность фаз обоих колебаний, А и В — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений параметра t. Записывая складываемые колебания в виде

Х/A = cos(w₀), У/В = cos(w₀t + ά) = cos(w₀)cosά + sin(w₀)sinά,

заменяя во втором уравнении cost на х/А и sint на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относите­льно координатных осей произвольно:

х²/A² – 2ху/АВcosά + у²/В² = sin²ά,

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз . Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

Рис. 94.

1)  = m(m=0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой у = +-(В/А)х. где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т, а знак минус — нечетным значениям т (рис. ). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой  и амплитудой , совершающимся вдоль прямой, составляющей с осью х угол =arctg . В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;

2)  = (2m+1) (m=0, ± 1, ±2,...). В данном случае уравнение примет вид

х²/А² + у²/В = 1. Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам. Кроме того, если А=В, то эллипс вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризо­ванными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Рис. 95.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.* Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной ).

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.