2.2.2. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона описывается следующим законом

,

где . Распределение Пуассона является дискретным (рис. 2.5). При распределение Пуассона приближается к нормальному распределению.

Основные числовые характеристики распределения Пуассона следующие.

Среднее число отказов до момента времени t .

Интенсивность отказов ,

Дисперсия .

Коэффициент асимметрии .

Эксцесс .

Коэффициент вариации .

Рисунок 2.5 – Распределение Пуассона.

Отличительной особенностью распределения Пуассона является то, что среднее число отказов, появляющееся в единицу времени, величина постоянная. Параметр пуассоновского распределения μ_r равен одновременно математическому ожиданию и дисперсии случайной величины.

Распределение Пуассона позволяет рассчитать вероятность отказов ν(t) менее или равных r (т.е. ν(t)≤r) и более r (т.е. ν(t)>r) за некоторый промежуток времени

Приведенные зависимости можно использовать для расчета количества запасных частей, предотвращающих их истощение за определенный промежуток времени.

Пример 2.6. По данным примера 2.5 (μ_r = n_мес = 1,13) определить гарантированное количество запасных частей на 1 месяц.

Решение.

Определим вероятность того, что за месяц потребуется не более одной замены. Принимая r = 1, получим

Итак, вероятность того, что потребуется только одна замена, не высока и существует риск, равный 27%, что одного комплекта футеровки окажется недостаточно для обеспечения работоспособного состояния конуса.

Оценим вероятность появления за месяц более 2-х отказов

Следовательно, остается риск, равный 6%, что наличие двух комплектов не обеспечит гарантированное работоспособное состояние.

При наличии 3-х комплектов вероятность их истощения близка к нулю.

Поэтому можно предложить следующую политику формирования запасных комплектов футеровки: с учетом времени на изготовление футеровки создается их полугодовой запас в количестве 5 комплектов (в примере 2.2 число замен в год n_год =9,3); в дальнейшем запас комплектов должен быть не менее 3.

Пример 2.7. Наработки ленточного конвейера подчиняются экспоненциальному закону с параметром λ = 0,016. Определить вероятность появления хотя бы одного отказа и более 2-х за период Т = 120 суток.

Решение.

Если наработка на отказ имеет показательное распределение, то число отказов описывается распределением Пуассона с параметром

μ_r = λ·Т = 0,016120 = 1,92 суток.

Определим вероятность появления не более одного отказа

Следовательно, вероятность появления хотя бы одного отказа равна

Вероятность появления более 2-х отказов равна

2.2.3. Восстанавливаемый элемент с конечным временем восстановления

Пусть время восстановления имеет конечную величину и им пренебречь нельзя. Последовательность интервалов безотказной работы обозначим ξ₁, ξ₂,…, ξ_n, а последовательные участки восстановления .

Допустим, что величины ξ_i и независимы в совокупности. Тогда

, , .

, , .

В этом случае моменты отказов и моменты восстановления не совпадают.

Обозначим число отказов до момента t через , а число восстановлений до момента t через . Тогда среднее число отказов и восстановлений равно

, .

Остаточное время ξ_i будет равно нулю (т.е. ξ_i = 0), если момент t попал на участок восстановления; в противном случае ξ_i - это время до первого после момента t отказа. Тогда

.

Эта величина называется коэффициентом готовности и характеризует вероятность того, что в любой момент времени элемент будет исправен.

Для элемента с конечным временем восстановления важную роль играет суммарная наработка S_t, под которой понимают математическое ожидание суммарного времени работы элемента до момента t

.

Пусть h_x соответствует моменту, в который суммарная наработка достигает величины x, тогда справедлива функция

.

Пример 2.8. Средняя наработка механизма вращения барабанной мельницы Т₁ = 30 суток, а среднее время восстановления работоспособного состояния – Т₂ = 0,1 суток. Определить коэффициент готовности механизма.

Решение.

Используя приведенную выше формулу, получим