6.3. Сравнение средних.

При рассмотрении вопросов надежности часто возникает необходимость сравнить два технологических процесса, агрегат или метода измерения. В этом случае обычно сравнивают средние значения.

Пусть заданы две выборки x₁, x₁, … , x_n1 и y₁, y_{1, … ,} y_n2. Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ о совпадении средних значений двух генеральных совокупностей, т.е. . При этом различают зависимые и независимые выборки.

Случай зависимых или связанных выборок имеет место, например, при измерении одних и тех же параметров двумя различными способами: механическим и электрическим, механическим и оптическим и т.д. Принимая объёмы выборок одинаковыми, т.е. n = n₁ = n₂, и вычисляя значения разностей для каждой пары измерений d_i = x_i – y_i, получим выборку новой случайной величины d_i объёмом n и статистическими параметрами

, .

Считая, что ряд значений d_i представляет собой выборку из нормально распределенной генеральной совокупности со средним значением M[d] = 0 и неизвестной дисперсией , вычисляется величина t, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы f = n -1:

Гипотеза Н₀ принимается, если величина t будет меньше табличного значения t_. При t > t_ гипотеза отвергается, и средние значения двух выборок считаются различными с вероятностью  = 1- .

В случае независимых выборок объемы выборок могут быть различными и для проверки нулевой гипотезы Н₀ вычисляется величина t, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы f = n₁+n₂-2:

Если табличное значение t_ для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы f будет больше вычисленного значения t, то гипотеза принимается. При t > t_ гипотеза о равенстве средних двух выборок отвергается. Если объём выборок одинаков, т.е. n = n₁ = n₂, то приведенная формула упрощается.

Пример 1.11. Сравнивается работа двух прессов. Среднемесячная выработка (n =25) на одном прессе составила т с дисперсией , на втором - т с дисперсией .

Решение.

Для числа степеней свободы f = n₁+n₂-2 = 25+25-2 = 48 и уровня значимости  = 0,05 из таблицы (Приложение Ж) находим t_0,05  2.

Вычисляем значение t по формуле, которая с учетом равенства выборок n = n₁ = n₂ =25 принимает вид

Поскольку t > t_00,5, то с вероятностью 95% разницу между выработками двух прессов следует признать значимой.

6.4. Проверка однородности наблюдений.

Если результаты наблюдений содержат одно или несколько значений, сильно отличающихся от среднего значения, то возникает задача оценить, являются ли эти результаты следствием грубой ошибки или они оправданы случайным характером распределения ошибок. Поскольку наличие грубых ошибок может исказить оценки параметров распределения, то выскакивающие значения должны быть выявлены и исключены из дальнейшей статистической обработки. Эта задача называется проверкой однородности наблюдений, и для её решения предложено несколько методов.

Экстремальное х_э (максимальное или минимальное) значение можно исключить из выборки x₁, x₁, … , x_n как выскакивающее значение (грубое измерение), если выполняется неравенство

Здесь - среднее значение, s – выборочный стандарт, n – объём выборки, v_ - табличное значение критерия, зависящее от объёма выборки n и заданного уровня значимости  (Приложение З).

Другой способ отсеивания выскакивающих значений, не требующий предварительного вычисления среднего значения, основан на оценке различий крайних значений упорядоченной выборки, под которой понимают расположенные в возрастающем порядке результаты отдельных наблюдений, т.е. .

Для оценки возможного исключения минимального значения x₁ вычисляют отношение

Полученное значение сравнивают с граничными значениями, взятыми из таблицы (Приложение З) для двух уровней значимости: 0,05 и 0,01. Если оно превышает табличное значение w_0,01, то крайнее значение x₁ является следствием грубой ошибки и его можно исключить. Если вычисленное значение w меньше табличного значения w_0,05 для уровня значимости =0,05, то наименьшее значение x₁ должно быть оставлено. В том случае, когда это отношение лежит между граничными значениями, т.е. , то для решения вопроса об отбрасывания крайнего значения необходимы дополнительные исследования.

Аналогично оценивается возможность отбрасывания наибольшего значения x_n, но в этом случае величина w будет равна

Если выскакивающими значениями являются два или три элемента выборки, то проверку однородности проводят последовательно.

Пример 1.12. При прокатке шести опытных партий металла были получены следующие значения выхода годного (%): 87, 86, 77, 87, 88, 85. Проверить, не является ли минимальное значение выхода годного, равное 77%, выскакивающим значением.

Решение.

Сначала определяем среднее арифметическое значение и выборочный стандарт

Вычисляем критерий v для сомнительного третьего элемента

По таблице (Приложение З) для уровня значимости =0,05 и объёма выборки n = 6 находим v_0,05 = 2,00. Поскольку v = 2,23 > v_0,05 = 2,00, то с вероятностью 95% значение выхода годного следует признать ошибочным и исключить из выборки. После чего необходимо заново пересчитать значения и s.

Аналогичные результаты дает применение отношения w, для чего надо расположить значения выхода годного в порядке их возрастания: 77, 85, 86, 87, 88%. Затем вычисляем w для наименьшего значения, равного 77%

По таблице (Приложение З) для уровня значимости =0,01 и объёма выборки n = 6 находим w_0,01 = 0,698. Так как w = 0,727 > w_0,01 = 0,698, то наименьшее значение выхода годного является следствием грубой ошибки и его следует исключить.