3. Нормальное распределение

Среди других законов распределения случайных величин большое значение имеет нормальное (гауссовское) распределение, плотность вероятности f(x) и функция распределения F(x) которого имеют вид

Здесь a и σ – математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение случайной величины X. Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный куполообразный вид (рис. 1.7) и называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Рисунок 1.7 – График плотности вероятности для нормального закона распределения при σ = 0,5a (кривая 1), σ = a (2), σ = 2a (3).

Максимальная ордината кривой равна и соответствует точке х = а; по мере удаления от этой точки плотность распределения уменьшается и асимптотически приближается к оси абсцисс при х → ±∞. Так как площадь под кривой распределения всегда равна 1, то при увеличении среднеквадратичного отклонения σ кривая распределения становится более плоской. Поэтому чем больше σ, тем значительнее разброс случайной величины вокруг её среднего значения.

Для удобства практического использования приведенных зависимостей введем безразмерную переменную u = (x – a)/σ. Тогда плотность вероятности функция распределения при нормальном законе будут иметь так называемый стандартный вид

Значения функции распределения F(u) можно найти с помощью таблицы 1.2, в которой приведены значения функции Лапласа

Таблица 1.2 – Значения функции Лапласа

u	Φ(u)	u	Φ(u)	u	Φ(u)
0,2	0,0793	1,2	0,3849	2,2	0,4861
0,4	0,1554	1,4	0,4192	2,4	0,4918
0,6	0,2257	1,6	0,4452	2,6	0,4953
0,8	0,2881	1,8	0,4641	2,8	0,4974
1,0	0,3413	2,0	0,4772	∞	0,4986

Примечание: Φ(u)=0 при u = 0; Φ(u)=0,5 при u→.

Функция Лапласа Φ(u) является нечетной, т.е. Φ(-u) = -Φ(+u), и поэтому в таблицах даны значения Φ(u) только для u  0.

Функция распределения F(u) выражается через функцию Лапласа Φ(u) следующим образом

Вероятность того, что распределенная по нормальному закону случайная величина Х примет значение в интервале x₁ ≤ X ≤ x₂, можно определить по формуле

Вычислим вероятность обнаружить отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от среднего значения на величину больше σ, 2σ и 3σ. Используя табличные данные, находим

P([a - σ] <X <[a + σ] = Φ(1) - Φ(-1) = 2 Φ(1) = 0,6826;

P([a - 2σ] <X <[a + 2σ] = Φ(2) - Φ(-2) = 2 Φ(2) = 0,9544;

P([a - 3σ] <X <[a + 3σ] = Φ(3) - Φ(-3) = 2 Φ(3) = 0,9972.

Из полученных данных следует, что отклонения случайной величины, распределенной по нормальному закону, от её математического ожидания более чем на 3σ практически невозможны. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием «правило трех сигм».

Важная роль нормального распределения состоит в том, что оно является предельным, к которому приближаются распределения случайных величин, формирующихся под действием большого числа независимых факторов, влияние каждого из которых незначительно. Поэтому нормальный закон распределения широко используется при обработке результатов измерений. Даже в тех случаях, когда распределение заведомо не является нормальным (например, для механических характеристик материалов, которые не могут быть отрицательными), его успешно применяют для приближенной оценки реальных законов распределения.

Нормальное распределение обладает свойством линейности: если независимые случайные величины X и Y имеют нормальное распределение, то их сумма также имеет нормальное распределение, причем

M[X + Y] = M[X] + M[Y]; D[X + Y] = D[X] + D[Y].

Пример 1.6. Размер диаметра заготовки имеет среднеквадратичное отклонение σ = 2 мм. Считая, что размер является нормально распределенной случайной величиной, определить вероятность брака, если отклонение заготовки d от номинального размера d допускается не более 3 мм.

Решение.

Вероятность того, что величина Х, распределенная по нормальному закону, примет значение, лежащее в интервале (d-d)Х(d+d) равна

Следовательно, вероятность брака равна

P(d  3) = 1 – 0,866 = 0,134.