1. Вероятность события

Теория вероятностей изучает закономерности часто повторяющихся случайных явлений. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Под событием в теории вероятностей понимают всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Событие, которое в результате данного опыта может произойти, а может и не произойти, называется случайным. Событие называется достоверным, если оно в данном опыте неизбежно происходит, и невозможным, если оно в данном опыте заведомо произойти не может.

Примеры событий: поломка распорной плиты щековой дробилки за время t – случайное событие; отсутствие давления в трубопроводе при его разрыве – достоверное событие; наличие тока в электрической цепи при её разрыве – невозможное событие.

Вероятностью случайного события называется число, которое характеризует возможность появления события и принимает значения в диапазоне от 0 до 1. Вероятность события А обозначается Р(А), при этом Р(А)=1, если А – достоверное событие, и Р(А)=0, если А – невозможное событие. Поэтому

0  Р(А)  1

Чтобы выявить на опыте закономерности случайных явлений, необходимо многократное проведение опыта при одних и тех же условиях. Пусть проведена серия из n опытов, в каждом из которых могло произойти или не произойти событие А. Частотой появления события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов n_A , в которых появилось событие А, к общему числу опытов n. Частоту события часто называют статистической вероятностью. Отношение n_A/n меняется в зависимости от числа проведенных опытов случайным образом. Однако при большом числе опытов частота события имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторому постоянному значению, вокруг которого происходят колебания с амплитудой, тем меньшей, чем больше общее число опытов. Таким образом

(1.1)

Тот факт, что с увеличением числа опытов эмпирические характеристики (частота события) приближаются к некоторым объективным характеристикам (вероятность события) данного случайного события, являются следствием весьма общего принципа, носящего название закона больших чисел.

Совокупность нескольких событий называется группой событий. Полная группа событий – совокупность событий, в которой хотя бы одно событие обязательно произойдет. Например, событие А (отказ изделия) и противоположное событие (безотказность изделия) составляют полную группу событий, так как изделие не может одновременно находиться в неисправном и исправном состоянии. События называются несовместными, если они не могут одновременно произойти в одном опыте; в противном случае они называются совместными.

Независимые события характеризуются тем, что появление одного из них не связано с появлением другого. Событие А считается независимым от события В, если вероятность события Р(А) не зависит от того, произошло событие В или нет. Например, выход из строя футеровки барабанной мельницы и её рабочее состояние являются несовместными и зависимыми событиями, которые образуют полную группу событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Рассмотрим два несовместных события А и В. Если при повторении опыта n раз события появлялись n_A и n_В раз, то частота события (А+В), состоящего в появлении или события А или события В, будет

(n_A + n_В)/n = (n_A/n) +(n_В/n)

Если события А и В являются совместными, то при повторении опыта n раз возможно совместное появление этих событий с частотой n_AВ. Тогда

(n_A + n_В - n_AВ)/n = (n_A/n) +(n_В/n) - (n_AВ/n)

Заменяя частоты событий на соответствующие вероятности, придем к теореме сложения вероятностей

• для несовместных событий

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (1.2)

• для совместных событий

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (1.3)

где Р(АВ) – вероятность совместного появления событий А и В.

Полученные формулы можно обобщить для любого числа событий:

• для несовместных событий

• для совместных событий

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в одновременном появлении этих событий. Рассмотрим два события А и В, при чем событие А реализуется только в том случае, если произошло событие В. Тогда число совместных появлений событий равно числу появлений события А, т.е. n_AВ = n_А. Следовательно, выражение для частот событий имеет вид

n_AВ/n = n_A/n = (n_В/n) (n_A/n_В)

Заменяя частоты событий на соответствующие вероятности, придем к теореме умножения вероятностей

Р(АВ) = Р(В)Р(АВ) (1.6)

Здесь Р(АВ) - вероятность одновременного появления событий А и В;

Р(АВ) - вероятность появления события А при условии, что произойдет событие В (условная вероятность).

Поскольку при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий считать первым, а какое вторым, то

Р(АВ) = Р(А)Р(ВА)

Вероятность произведения нескольких событий равна

Р(А₁А₂...А_m) = Р(А₁) Р(A₂А₁) )Р(A₃А₁A₂) )…Р(A_mА₁A₂…A_m-1)

В случае независимых событий теорема умножения упрощается к виду

где  - знак произведения.

Пример 1.1. Вероятность безотказной работы привода барабанной мельницы (событие А) зависит от 4-х соединенных последовательно узлов: электродвигателя (А₁), муфты (А₂), редуктора (А₃), открытой зубчатой передачи (А₄). Вероятность безотказной работы: первого узла - Р(А₁) = 0,95; второго - Р(А₂) = 0,85; третьего - Р(А₃) = 0,90; четвертого - Р(А₄) = 0,80. Найти вероятность безотказной работы привода, если каждый из 4-х узлов может выйти из строя независимо от трех других.

Решение.

По теореме умножения для независимых событий (1.7) находим

Р(А) = Р(А₁) Р(A₂Р(A₃)Р(A₄) = 0,950,850,900,80 = 0,58.

Пример 1.2. В системе централизованной циркуляционной системы жидкой смазки используется два параллельно работающих фильтра. Примем, что вероятность безотказной работы первого фильтра – Р(А) = 0,9, а второго фильтра – Р(В) = 0,9. Найти вероятность отсутствия одновременного отказа обоих фильтров при условии независимости отказов фильтров.

Решение.

Безотказная работа одного из фильтров или обоих вместе есть сумма событий (А+В). Вероятность отсутствия одновременного отказа обоих фильтров при условии независимости отказов определяется по формуле (1.3)

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,9 + 0,9 – 0,90,9 = 0,99.