7. Оценка близости эмпирического и теоретического распределений.

При обработке опытных данных приходится решать вопрос о подборе такой теоретической кривой распределения, которая отражала бы наиболее существенные черты дано статистического ряда, но не случайных отклонений, связанных с недостаточным объёмом данных. Задача выравнивания (сглаживания) статистического ряда состоит в подборе теоретической плавной кривой распределения, которая наилучшим образом соответствует некоторому заданному критерию. Например, если исследуемая случайная величина Х есть ошибка измерения, то обычно принимают нормальный закон её распределения; тогда задача выравнивания сводится к отысканию параметров а и .

Пример 1.13. На рис. 1.8 приведена гистограмма ежесуточного выпуска поковок, вид которой показывает возможность её описания с помощью нормального закона. Требуется построить график функции распределения и кривую плотности вероятности.

Решение.

Нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием а и средним квадратичным отклонением . Выберем эти параметры так, чтобы выполнялись равенства

Подставляя численные значения , получим

Тогда выражение для нормального закона примет следующий вид:

Задавая значения u = m/h на границах интервалов по таблицам (Приложение Б) находим значения функции (u) и вычисляем значения f(m/h):

m/h	0	1	2	3	3,08	4	5	6	7
F	0,029	0,100	0,207	0,272	0,273	0,224	0,117	0,037	0,007
F	0,017	0,078	0,230	0,479	0,500	0,736	0,905	0,978	0,996

Значения функции распределения F определяли через функцию Лапласа с помощью таблиц (Приложение Б), Из рисунков 1.8 и 19 видно, что теоретические кривые достаточно хорошо соответствуют опытным данным.

Пусть данное статистическое распределение сглажено с помощью некоторой теоретической кривой f(х). Возникает вопрос о соответствии теоретического и эмпирического распределений. Одним из наиболее часто применяемых способов оценки близости двух распределений является критерий ² (критерий Пирсона). В основе этого способа лежит то, что сумма квадратов разностей между теоретическими p_i и эмпирическими n_i/n значениями плотности распределения, является величиной, распределенной по ²-распределению с f степенями свободы:

где k – число интервалов, на которые разбит диапазон изменения случайной величины; n – объём выборки.

Число степеней свободы f распределения ² равно f = k – l, где l - число связей, наложенное на частоты n_i/n. Одной из связей всегда является очевидное требование – сумма частот рана единице На частоты могут быть также наложены, вытекающие из условий равенства средних значений и дисперсий для теоретического и эмпирического распределений.

Практическое применение критерия Пирсона сводится к следующему:

1) вычисляется мера расхождения ² между двумя распределениями,

2) определяется число степеней свободы f,

3) по таблице (Приложение Е) находится вероятность Р того, что величина, имеющая распределение ² с f степенями свободы, превзойдет данное значение (²)_р;

4) если эта вероятность мала, то гипотеза о согласованности теоретического и эмпирического распределений отбрасывается как неправдоподобная; если вероятность достаточно велика, то гипотеза не противоречит опытным данным.

На практике поступают по-другому:

1) задают значение уровня значимости  и по таблице находят для заданного числа степеней свободы f находят значение (²)_;

2) затем сравнивают вычисленное ² и табличное (²)_ значения, при этом считают гипотезу правильной при ² < (²)_ и не соответствующей опытным данным в противном случае.

При использовании критерия Пирсона желательно, чтобы число опытов было достаточно велико (не менее 100), а количество элементов в каждом разряде – не менее 5.

Кроме критерия Пирсона на практике применяют и другие критерии согласия, из которых чаще всего используют критерий Колмогорова. В качестве меры расхождения в данном критерии применяется максимальное абсолютное отклонение эмпирической функции распределения F_n(x) от соответствующей теоретической функции распределения F(x).

Применение критерия Колмогорова сводится к следующему:

1) находят величину  = max|F_n(x) - F(x)|;

2) вычисляют параметр ;

3) сравнивают вычисленное значение  с табличным значением _ для принятого уровня значимости .

Если вычисленное значение меньше табличного значения, т.е. при  < _, то гипотеза о совпадении эмпирического и теоретического распределений считается справедливой. В противном случае эта гипотеза отклоняется или считается сомнительной. Уровень значимости обычно выбирается равным  = 0,2…0,3, чему соответствует значение _  1.

Критерий Колмогорова может быть также применен для оценки близости двух эмпирических распределений F_n1(x) и F_n2(x). В этом случае параметр  вычисляется по формуле

где  = max|F_n1(x) - F_n2(x)| - максимальная абсолютная разность между эмпирическими функциями распределения.

Пример 1.14. Проверить соответствие теоретического и эмпирического распределений для предыдущего примера.

Решение.

_{Поскольку при использовании критерия 2 число наблюдений в каждом интервале должна быть не менее 5, то необходимо объединить два первых интервала и три последних интервала. После чего составляем сравнительную таблицу чисел наблюдений в интервалах ni и соответствующих значений n·pi}

m/h	0…2	2…3	3…4	4…7
ni	9	7.5	8.5	11
n·pi	8.3	8.9	9.2	9.5

Вероятность p_i попадания наблюдений в i-тый интервал вычисляются как разность значений теоретической функции нормального распределения F на границах соответствующего интервала. Значения F берем из предыдущего примера. Определяем меру расхождения

Затем по таблице (Приложение Е) для числа степеней свободы f = 4 – 3 = 1 находим путем линейной интерполяции, что при ² = 0,56 искомая вероятность приблизительно равна Р  0,46. Эта вероятность не является малой; поэтому, учитывая сравнительно небольшое число наблюдений и большой разброс опытных данных. гипотезу о нормальном законе распределения ежемесячного выпуска поковок можно считать правдоподобной.

Применим к исследуемому распределению критерий Колмогорова. Для этого надо вычислить абсолютные разности |F_n(x) - F(x)| и выбрать среди них наибольшую. Анализ табличных данных, приведенных в примерах 6 и 12, показывает, что в нашем примере  = 0,02. После этого вычисляем параметр Поскольку это значение значительно ниже _  1, можно утверждать, что существенных расхождений между эмпирическим и теоретическим (нормальным) распределением нет.