1.2.2. Теорема о сложении вероятностей

События могут быть совместными и несовместными. Два события называют несовместными, если в результате опыта они не могут появиться одновременно. И наоборот, события считаются совместными, если они появляются одновременно в результате такого опыта.

Теорема сложения вероятностей формулируется: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (1.13)

Для произвольного числа несовместных событий будем иметь

P(A₁+A₂+…+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n). (1.14)

Более удобная запись теоремы сложения:

(1.15)

Если события А₁, А₂, ... , А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

(1.16)

Противоположными событиями называют два несовместных события; они образуют полную группу, сумма вероятностей которых равна единице:

(1.17)

где A - событие, противоположное событию А.

Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (1.18)

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий

Р(А+В+C) = Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС). (1.19)

Вероятность суммы любого числа совместных событий определяется

выражением

(1.20)

Аналогично приведенным выше формулам можно написать

- для произведения двух событий:

Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А+В); (1.21)

- для произведения трех событий:

Р(АВС)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(А +В)-Р(А+С)-Р(В+С)+Р(А+В+С). (1.22)

Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д., имеет вид:

(1.23)

Формулы (1.20) и (1.23) находят практическое применение при преобразовании различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает использовать только суммы, а в других только произведения событий.

Пример 1.3. Техническое устройство состоит из трех элементов А₁, А₂ и В. Элементы А₁ и А₂ дублируют друг друга, поэтому при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Элемент В не дублирован. Устройство прекращает работу в том случае, когда отказывают оба элемента А₁ и А₂ или отказывает элемент В. Таким образом, отказ устройства можно представить в виде события С = А₁А₂ + В, где событие А₁ является отказом элемента А₁, А₂ — отказом элемента А₂ и В — отказом элемента В. Выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы.

Решение.

В соответствии с формулой (1.18) имеем

Р(С) = Р(А₁А₂) + Р(В) - Р(А₁А₂В).

Используя формулу (1.21), определим

Р(А₁А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) - Р(А₁+А₂).

Далее, применяя формулу (1.22), получим

Р(А₁А₂В)= Р(А₁)+Р(А₂)+Р(В) - Р(А₁+А₂) - Р(А₁+В) – Р(А₂+В)+ Р(А₁+А₂+В).

Подставляя полученные выражения и сокращая, находим

Р(С)= Р(А₁+В) + Р(А₂+В) - Р(А₁+А₂+В).

1.2.3. Теорема об умножении вероятностей

События могут быть независимыми и зависимыми. Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Понятие зависимости и независимости событий можно наглядно показать наследующих примерах.

1. Предположим, что опыт состоит в бросании двух монет, при этом рассматривают следующие события: событие А — появление герба на первой монете и событие В — появление герба на второй монете. В этом случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет, следовательно, событие А независимо от события В.

2. Пусть в урне имеется два белых и один черный шар. Два человека вынимают из урны по одному шару, при этом рассматриваются следующие события: событие А — появление белого шара у первого человека и событие В — появление белого шара у второго человека. Вероятность события А до того, как станет известно что-либо о событии В, равна 2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной 1/2, т.е. событие А зависит от события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в одновременном появлении этих событий.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В). Для условий примера Р(А) = 2/3, Р(А/В) = 1/2.

Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т. е.

Р(АВ) = Р(В)Р(АВ) (1.24)

Очевидно, что при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий — А или В — считать первым, а какое вторым, и теорему можно записать так: два события называют независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляют при условии, что все предыдущие имели место:

Р(А₁А₂...А_m) = Р(А₁) Р(A₂А₁) )Р(A₃А₁A₂) )…Р(A_mА₁A₂…A_m-1) (1.25)

В случае независимых событий теорема умножения упрощается к виду

(1.26)

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Применяя знак произведения, теорему можно записать так:

Пример 1.4. Устройство состоит из пяти приборов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного прибора приводит к отказу устройства. За время t вероятность безотказной работы каждого из приборов соответственно равна P₁(t)=0,95; P₂(t)=0,99; P₃(t)=0,98; P₄(t)=0,90; P₅(t)=0,93. Найти надежность устройства за время работы t.

Решение.

Введем обозначения вероятностей безотказной работы первого—пятого приборов: А₁ —А₅.

Имеем: А = А₁А₂А₃А₄А₅.

По формуле умножения для независимых событий (1.26) получим:

Р(А)=Р(А₁)·Р(А₂) Р(А₃) Р(А₄) Р(А₅)=0,95·0,99·0,98·0,90·0,93=0,76.