1.2. Математические зависимости для оценки надежности

1.2.1. Функциональные зависимости надежности

Различают случайные величины прерывного (дискретного) и непрерывного типов. Условимся случайные величины в дальнейшем обозначать большими буквами, а их возможные значения — соответствующими малыми. Для каждого числа х в диапазоне изменения случайной величины Х существует определенная вероятность Р(Х<х) того, что Х не превышает значения х. Вероятность этого события называют функцией распределения:

F(х) = Р(Х<х). (1.1)

Функция распределения — универсальная характеристика, так как она является функцией как непрерывных, так и дискретных случайных величин. Функция (х) относится к неубывающим функциям: она монотонно возрастает при непрерывных процессах и ступенчато возрастает при дискретных процессах. В пределах изменения случайной величины Х эта функция изменяется от 0 до 1: F(-∞) = 0; F(∞) = 1.

Производную от функции распределения по текущей переменной называют плотностью распределения

(1.2)

Плотность распределения характеризует частоту повторений данного значения случайной величины. В теории надежности величину f(x) называют плотностью вероятности. Плотность распределения есть неотрицательная функция своего аргумента ƒ(x) ≥ 0.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

В ряде случаев в качестве характеристик распределения случайных величин достаточно использовать некоторые числовые величины, среди которых в теории надежности наиболее употребительными являются математическое ожидание (характеризует среднее значение), мода и медиана (характеризуют положение центров группирования случайных величин на числовой оси), дисперсия, среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации (характеризуют рассеяние случайной величины). Значения характеристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют статистическими оценками. Характеристики распределения используют для прогнозирования надежности.

Для дискретных случайных вели чин математическое ожидание M_x равно сумме произведений всех возможных значений Х на вероятности этих значений P_i:

(1.3)

Математическое ожидание для непрерывной случайной величины выражается интегралом в бесконечных пределах от произведения непрерывно изменяющихся возможных значений случайной величины на плотность распределения

(1.4)

Математическое ожидание случайной величины непосредственно связано с ее средним значением. При неограниченном увеличении числа опытов среднее арифметическое значение величины X приближается к математическому ожиданию и называется оценкой среднего значения:

(1.5)

Здесь m – число групп с одинаковым значением случайной величины x_i; n - общее число опытов; x_i - текущее значение случайной величины; n_i – число опытов, в которых появилось x_i.

Дисперсией D_х случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

Для дискретной случайной величины дисперсия равна:

(1.6)

Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется из выражения

(1.7)

Оценка дисперсии случайной величины D_х*:

(1.8)

Дисперсия случайной величины является характеристикой рассеяния — разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания. Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности случайной величины. Для наглядности в качестве характеристики рассеяния удобнее использовать величину, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой характеристикой может быть среднее квадратичное отклонение σ_x, которое определяется как корень квадратный из дисперсии:

(1.9)

Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент вариации, который равен:

(1.10)

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются её основными характеристиками. Кроме них, в теории надежности для характеристики положения случайной величины используют медиану и моду, а для характеристики формы – коэффициенты асимметрии и эксцесс.

Модой случайной величины называют ее наиболее вероятное значение или то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медиана характеризует расположение центра группирования случайной величины. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.

Квантиль — значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности. Квантиль, соответствующий вероятности 0,5, называют медианой.

Пример 1.1. При проведении одного опыта может появиться или не появиться некоторое событие А. Вероятность появления события А равна р, а вероятность его отсутствия - q = 1 - p. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х — число появлений события А.

Решение.

Ряд распределения случайной величины Х можно записать в виде таблицы:

xi	0	1
Pi	q	p

По формуле (1.3) находим математическое ожидание:

Дисперсию величины Х определим по формуле (1.6), а среднее квадратичное отклонение по (1.9):

Рассматривая случаи появления или отсутствия события А в большом числе испытаний, можно установить определенные закономерности появления этого события. Если при проведении n испытаний событие А имело место n_A раз, то относительную частоту появления события А определяют из соотношения

(1.11)

Если событие А имело место в каждом из n, испытаний, т.е. n_A = n, то Р*(А)=1. Если событие А не наступило ни в одном из n, испытаний, т.е. n_A = 0, то Р*(А)=0. Отношение n_A/n меняется в зависимости от числа проведенных опытов случайным образом. Однако при большом числе опытов частота события имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторому постоянному значению, вокруг которого происходят колебания с амплитудой, тем меньшей, чем больше общее число опытов.

Такая закономерность была замечена давно и подтверждена результатами решения различных примеров. Самыми известными примерами являются примеры бросания монеты или игральной кости. Так, при большом числе бросании монеты относительная частота выпадения герба равна 1/2 и равна относительной частоте выпадения цифры. При большом числе бросаний игральной кости относительная частота выпадения каждой стороны, на которой изображены цифры от 1 до 6, равна 1/6.

Приведенные примеры показывают, что существует постоянная величина (в нашем случае 1/2 или 1/6), около которой колеблется относительная частота свершения случайного события и к которой она все более приближается с увеличением числа испытаний. Постоянную величину, к которой приближается относительная частота случайного события, называют вероятностью случайного события А и обозначают символом Р(А). На практике при большом числе испытаний вероятность случайного события принимают равной относительной частоте этого события:

Р(А) ≈ Р*(А).

Математическим основанием этого утверждения является закон больших чисел (Я. Бернулли) — вероятность отклонения относительной частоты некоторого события А от вероятности Р(А) этого события более чем на произвольно заданную величину ε >0 становится сколь угодно малой, если число испытаний n неограниченно возрастает.

Таким образом, вероятность события Р(А) представляет собой число, заключенное в интервале от нуля до единицы, т. е. справедливо неравенство

0 ≤ P(A) ≤ 1. (1.12)

Пример 1.2. При ковке заготовок из трудно деформируемого сплава оказалось, что из 500 поковок признаны годными 450. Найти вероятность получения годной поковки.

Решение.

Общее число полученных поковок n = 500, при этом число годных m = 450. Используя формулу (1.11), найдем вероятность получения годной поковки: Р(А) = 450/500 = 0,9.