2. Случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять одно из возможных значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин. Случайным величинам противопоставляются детерминированные величины, значения которых предопределяются начальными условиями.

Для характеристики случайной величины, прежде всего, необходимо задать набор её допустимых значений. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно заранее перечислить. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конченого или бесконечного промежутка числовой оси. Поэтому значения непрерывной случайной величины не могут быть заранее перечислены – они непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Примеры.

1) Число выплавленных металлических заготовок – случайная дискретная величина; масса выплавленного металла – непрерывная случайная величина.

2) Число футеровочных плит щековой дробилки, замененных в процессе ремонтного цикла - случайная дискретная величина; время безотказной работы футеровочной плиты - случайная непрерывная величина.

Условимся случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – малыми буквами.

Пусть дана дискретная случайная величина Х с возможными значениями х₁, х₂, … , х_n, каждое из которых может появиться в результате опыта с вероятностью соответственно p₁, p₂, … , p_n. Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайно величины равна единице, т.е.

Эта формула отражает тот факт, что событие (случайная величина принимает в результате опыта одно из своих возможных значений) является достоверным.

Случайная величина считается полностью описанной с вероятностной точки зрения, если задан закон её распределения. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон можно задать таблично (ряд распределения), графически (многоугольник или гистограмма распределения) и аналитически (в виде формулы или уравнения).

Пример 1.3. Допустим, что каким-либо путем установлена вероятность разрушения распорной плиты щековой дробилки в течение 1-го месяца её эксплуатации и она оказалась равной р = 0,2. Обозначив число месяцев работы через Х, найти закон распределения случайной величины Х.

Решение.

Возможные значения величины Х равны 1, 2, 3,…(теоретически они ничем не ограничены). Для удобства расчетов введем вероятность неразрушения матрицы, т.е. величину q = 1 – р = 1 – 0,2 = 0,8.

Величина Х = 1, если плита разрушилась в 1-й месяц эксплуатации. Вероятность такого события равна р₁ = p = 0,2.

Для того чтобы величина Х приняла значение 2, необходимо, чтобы в 1-й месяц эксплуатации плита не разрушилась, а во 2-м разрушилась. Вероятность такого события равна р₂ = рq = 0,20,8 = 0,16.

Вероятность того, что разрушение матрицы произойдет в течение n-го месяца, будет равна

.

Это соответствует аналитической форме задания закона распределения случайной величины

Ряд распределения величины Х имеет следующий вид (табличная форма задания закона распределения):

х₁ = 1, р₁ = p = 0,2;

х₂ = 2, р₂ = р₁q = рq = 0,20.8 = 0,16;

х₃ = 3, р₃ = р₂q = рq² = 0,20.8² = 0,128 и т.д.

Графическая форма задания закона распределения дана на рис. 1.4.

Более универсальной характеристикой случайной величины является функция распределения F(x), под которой понимают вероятность обнаружить значение X < x, где x – некоторая текущая переменная, т.е.

По определению функция распределения является неубывающей функцией своего аргумента x, т.е. F(x₂) > F(x₁) при x₂ > x₁. При этом F(-)= 0 и F(+) = 1.

Рисунок 1.4. – Графическая форма задания закона распределения в виде многоугольника (верх) и гистограммы (низ) распределения вероятности разрушения плиты в зависимости от числа месяцев работы.

В теории надежности функцию распределения F(x) называют также вероятностью отказа элемента до момента t.

В отличие от ряда и многоугольника функция F(x) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин (рис. 1.5).

Рисунок 1.5. – Функция распределения для дискретной (а) и непрерывной (б) случайной величины Х.

Если случайная величина Х может принимать дискретные значения, то распределение называется дискретным. В этом случае функция распределения является ступенчатой, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной дискретной величины Х, и равны вероятности этих значений. Очевидно, сумма всех скачков равна 1.

Пример 1.4. Построить эмпирическую функцию распределения случайной величины Х по данным примера 1.3.

Решение.

Вероятность разрушения распорной плиты щековой дробилки в течение 1-го месяца её эксплуатации равна р = 0,2. Вероятность разрушения плиты в течение 2-го месяца равна рq = 0,20.8 = 0,16, и поэтому вероятность разрушения в течение первых двух месяцев будет (р + рq). Следовательно, вероятность P_n(A) того, что в течение первых n месяцев событие А (разрушение плиты) произойдет хотя бы один раз, будет

График функции распределения для случая р = 0,2 и q = 0,8 представлен на рис. 1.6.

Рисунок 1.6 – Эмпирическая функция распределения числа месяцев работы распорной плиты щековой дробилки

Если случайная величина имеет непрерывное распределение, то функция распределения F(x) является непрерывной и дифференцируемой. Первая производная от функции распределения называется плотностью распределения случайной величины Х

График плотности распределения случайной величины называется кривой распределения. Плотность распределения полностью определяет случайную величину и является неотрицательной функцией, т.е. f(x)  0.

Функция F(x), как любая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения f(x) обратна размерности случайной величины.

Вероятность того, что значения случайной величины Х будет лежать в интервале между х₁ и х₂, равна

Вероятность обнаружить величину Х во всем интервале - ≤ Х ≤ +, очевидно равна 1, так как это достоверное событие, и поэтому площадь под кривой распределения равна 1, т.е.

При решении задач надежности часто нет необходимости характеризовать случайную величину плотностью распределения, а достаточно указать только числовые характеристики, отражающие наиболее существенные особенности распределения случайной величины. Такие параметры называются числовыми характеристиками случайной величины.

В качестве характеристики положения случайной величины, указывающей некоторое среднее значение, вокруг которого группируются её значения, обычно применяют математическое ожидание.

Пусть в результате n опытов найдено, что случайная величина Х принимает n₁ раз значение х₁, n₂ раз значение х₂ и т.д. Тогда среднее арифметическое значение случайной величины Х будет равно

Здесь m – число групп с одинаковым значением случайной величины x_i.

Если – заменить эмпирические частоты (n_i/n) вероятностями P_i, то среднему арифметическому значению случайной величины Х будет соответствовать теоретическая характеристика случайной величины

Эта величина называется математическим ожиданием (средним значением) случайной величины Х.

Для непрерывного распределения случайной величины

Характеристикой рассеивания (разброса) значений случайной величины около её математического ожидания является дисперсия D_x, под которой понимают математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Для дискретной случайной величины

Для непрерывной случайной величины

Оценка дисперсии случайной величины D_х*:

Так как дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, то для удобства практического использования вводят среднеквадратичное отклонение (или стандарт), размерность которого совпадает с размерностью случайной величины

Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент вариации, который равен:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются её основными характеристиками. Кроме них, в теории надежности для характеристики положения случайной величины используют медиану и моду, а для характеристики формы – коэффициенты асимметрии и эксцесс.

Пример 1.5. Найти математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение случайной величины Х по данным примера 1.3.

Решение.

Возможным значениям случайной величины Х, равным x_i = 1, 2, … , i, … , соответствуют вероятности P_i = p, pq, … , pq^i--1, … , 0.

Математическое ожидание величины Х (число месяцев до разрушения распорной плиты) выражается суммой ряда

Дисперсия случайной величины Х будет равна

Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно

При вероятности разрушения плиты в 1-й месяц эксплуатации p = 0,2, математическое ожидание срока службы составит M_x = 5 месяцев, дисперсия D_x = 20 мес², а среднеквадратичное отклонение σ_x = 4,5 месяца.