1.4.2. Сценарій роботи

1. Вивчити теоретичну частину роботи

2. Увійти у програмне оточення лабораторної роботи. Встановити початкове значення кута відхилення маятника від вертикалі 1 градус, початкову швидкість рівною нулю, амплітуду віброперевантаження у горизонтальному напрямку рівною нулю. Амплітуду перевантаження у вертикальному напрямку і відносний коефіцієнт загасання встановити такими, як вказано у п. 1.4.4. Змінюючи відносну частоту у межах між 0 і 2 (20..30 значень), зафіксувати результати моделювання на ЕОМ і, перш за все, величину амплітуди усталених коливань і їх частоту.

3. Побудувати експериментальну амплітудно-частотну характеристику параметричних коливань маятник. Порівняти її з теоретичною. Зробити висновки.

4. Для довільного значення частоти, де спостерігається наявність параметричних усталених коливань змінити у 2 рази амплітуду вібрації основи і зафіксувати параметри спостережуваного процесу. Аналогічно, змінити у 2 рази коефіцієнт демпфірування і зафіксувати результати. Зробити висновки.

5. Провести експерименти по вивченню умов виникнення коливань навколо верхнього (зазвичай нестійкого) положення рівноваги маятника. Встановити інтенсивність вертикальної вібрації – 10, відносну частоту вібрації ­– 5, початкове відхилення маятника – 170 градусів. Спостерігати модельований рух маятника. Впевнитися у тому, що коливання маятника здійснюються навколо горішнього положення. Варіюючи значенням а) амплітуди вертикальної вібрації; б) коефіцієнта демпфірування; в) частоти вібрації основи і д) початкового відхилення маятника встановити залежність параметрів і характеру руху маятника від цих параметрів. Зафіксувати результати усіх цих експериментів.

6. Підготувати відповіді на запитання п. 1.4.6.

7. Показати викладачеві одержані і зафіксовані результати, пояснити їх. Доповісти про зроблені висновки. Відповісти на запитання викладача.

1.4.3. Теоретична частина. Параметричні коливання маятника

Якщо точка підвісу маятника вібрує лише у вертикальному напрямку, за малої інтенсивності вібрації поводження маятника майже не відрізняється від поводження його на нерухомій основі: при відхиленні маятника від вертикалі від здійснює загасаючі коливання навколо нижнього положення рівноваги.

Але при інтенсивній вертикальній вібрації замість загасання коливань може спостерігатися усталення коливань з певною амплітудою, причому характерною їхньою особливістю є те, що коливання здійснюються з частотою у два рази меншою за частоту вібрації основи. Такі усталені коливання одержали назву параметричних коливань.

Теоретичне дослідження є досить складним. Застосуємо для цього метод усереднення.

Припустимо, що вертикальна вібрація здійснюється за законом

. (1.36)

Розкладаючи в ряд Маклорена і залишаючи в ньому лише перші два члени, можна подати рівняння (0.4) у вигляді

. (1.37)

Метою дослідження є вивчення можливості виникнення в системі, що описується цим рівнянням, стаціонарних (з незмінною амплітудою і частотою) коливань, які ми називаємо параметричними. Через те, що є невідомим заздалегідь з якою саме частотою здійснюватимуться ці коливання, будемо поки що вважати, що вони здійснюються за гармонічним законом з деякою невідомою частотою :

,

де – амплітуда; – фаза; і – комплексно-спряжені величини, що характеризує амплітуду і фазу

; . (1.38)

Приведемо рівняння (1.37) до нормальної форми Коші. Для цього позначимо

. (1.39)

Тоді (1.37) можна подати у вигляді системи з двох рівнянь першого порядку:

(1.40)

Перетворимо цю систему на наступну

(1.41)

в якій виділено малі члени (з множником ) у такий спосіб, що решта (не малих) членів утворили лінійну стаціонарну систему з розв'язком виду (4.3):

; (1.42)

У відповідності до методу усереднення розв’язки (1.42) слід розглядати як заміну змінних і на нові змінні і . Здійснюючи таку заміну в системі (1.41) і позначаючи

;

(1.43)

одержимо з (1.41) такі рівняння відносно нових змінних

(1.44)

Рівняння (1.44), так само, як і первісні рівняння (1.40) є "точними" (не наближеними. Застосуємо до них операцію усереднення за поточною фазою . Введемо позначення і для усереднених значень комплексних амплітуд і :

; . (1.45)

Тоді рівняння (1.44) перетворяться до виду

. (1.46)

Суть метода усереднення полягає не тільки в тому, що замість первісних квазілінійних рівнянь розглядаються еквівалентні ним усереднені рівняння у формі Коші з малими правими частинами (так звані "рівняння у стандартній формі"). Відмітною рисою є те, що точне інтегрування за фазою у правих частинах (1.46) замінюють на наближене, припускаючи при інтегруванні усереднені комплексні амплітуди (1.45) незмінними (тобто незалежними від фази). Це припущення є можливим внаслідок того, що праві частини рівнянь (1.46) за побудовою є малими, тобто швидкості змінювання усереднених комплексних амплітуд є також малими.

Враховуючи, що , можна перетворити вираз (1.43) до такого

(1.47)

Використаємо одержаний вираз у (1.46) і здійснимо осереднення у правих частинах. Якщо при цьому врахувати, що

; ( ),

то рівняння (1.46) можна привести до виду

(1.48)

У подальшому будемо вивчати лише можливість встановлення у системі стаціонарних коливань, яким відповідає відсутність швидкостей змінювання комплексних усереднених амплітуд:

, (1.49)

де і - "амплітуди" шуканих стаціонарних коливань.

З (1.48) випливає, що для забезпечення виконання умов (1.49) (при і , що не дорівнюють нулю) мають дорівнювати нулю праві частини цих рівнянь.

Припустимо, що

, (1.50)

де – ціле число. Тоді:

1. інтеграли у перших круглих дужках дорівнюватимуть нулю;

2. інтеграли у других круглих дужках не дорівнюватимуть нулю лише за умови

, (1.51)

тобто коли частота параметричних коливань маятника у два рази є меншою за частоту параметричного збудження (частоти вібрації основи).

Виконання умов (1.51) і (1.49) приводить рівняння (1.48) до таких рівностей

. (1.52)

Це алгебричні рівняння для визначення комплексних усереднених амплітуд параметричних коливань маятника. Враховуючи (1.38), з них можна одержати рівняння для визначення дійсної амплітуди параметричних коливань:

. (1.53)

Користуючись виразом (1.53) можна побудувати графіки амплітудно-частотних характеристик параметричних коливань. Зробимо це у середовищі MatLAB:

nu=0:0.01:3; n=length(nu);

nym=0.5; dz=0.08;

a1=2*sqrt(2*(1-nu.^2/4-sqrt((nym/2)^2-dz^2.*nu.^2)))*180/pi;

a2=2*sqrt(2*(1-nu.^2/4+sqrt((nym/2)^2-dz^2.*nu.^2)))*180/pi;

plot(nu,a1,nu,a2)

hold on, dz=0.01;

a3=2*sqrt(2*(1-nu.^2/4-sqrt((nym/2)^2-dz^2.*nu.^2)))*180/pi;

a4=2*sqrt(2*(1-nu.^2/4+sqrt((nym/2)^2-dz^2.*nu.^2)))*180/pi;

for k=1:n

if imag(a3(k))~=0, a3(k)=0; end

if imag(a4(k))~=0, a4(k)=0; end

end

plot(nu,a3,nu,a4)

dz=0.15;

a5=2*sqrt(2*(1-nu.^2/4-sqrt((nym/2)^2-dz^2.*nu.^2)))*180/pi;

a6=2*sqrt(2*(1-nu.^2/4+sqrt((nym/2)^2-dz^2.*nu.^2)))*180/pi;

for k=1:n

if imag(a5(k))~=0 a5(k)=0; end

if imag(a6(k))~=0 a6(k)=0; end

end

plot(nu,a5,nu,a6),grid

title('АЧХ параметричних коливань при Nym=0.5')

xlabel('Відносна частота (dz= 0.01; 0.08; 0.15)'), ylabel('Амплітуда (градуси)')

На рис. 1.4 наведені графіки АЧХ параметричних коливань для інтенсивності вертикальної вібрації =0.5 і для трьох значень відносного коефіцієнта згасапння =0,01; 0,08 і 0,15. На наступному рис. 1.5 аналогічні графіки побудовані для =1 і =0,08; 0,25 і 0,3.

З розгляду графіків випливає, що зона існування малих параметричних коливань зменшується зі збільшенням демпфірування. За достатньо великих значень відносного коефіцієнта загасання вона може зовсім зникнути, тобто ні за яких значень частоти вертикальної вібрації, у маятника не виникають параметричні усталені коливання.

Збільшення ж інтенсивності вібрації приводить також до збільшення зони частот, де збуджуються параметричні коливання.

Як бачимо, властивості АЧХ параметричних коливань дуже відрізняються від АЧХ вимушених коливань.

Рис. 1.4. АЧХ параметричних коливань при

Рис. 1.5. АЧХ параметричних коливань при