2.2.3.2. Вплив тертя на поводження гіромаятника

Вплив тертя на рух вільного гіромаятника достатньо точно кількісно і якісно можна розглянути на лінеаризованій моделі (див. рівняння (2.32)) при малих відхиленнях осі гіромаятника від вертикалі. Припускаючи, що тертя є лінійним (в’язким, тобто пропорційним швидкості) будемо вважати, що:

– момент сил тертя залежить лише від екваторіальної складової кутової швидкості гіроскопа і пропорційний їй за величиною;

– вектор моменту сил тертя спрямований протилежно вектору екваторіальної кутової швидкості:

. (2.40)

Це дає наступні складові цього моменту на осі Резаля (див. рис. 2.30):

; .

Рівняння (2.32) з урахуванням моментів сил тертя за таких умов набудуть виду:

(2.41)

Як і раніше, скористаємося методом компресії рівнянь. Введемо комплексну змінну (2.33) і зведемо систему рівнянь (2.41) до одного рівняння другого порядку:

.

Відповідне характеристичне рівняння матиме вигляд:

.

Відшукаємо корені цього рівняння з комплексними коефіцієнтами:

.

Задля нашої мети встановлення стійкості вільних коливань гіромаятника достатньо скористатися наближеними значеннями коренів, які випливають з припущень про мализну (у порівнянні з одиницею):

– величини (тобто моментів тертя);

– величини (тобто виконання припущення, що гіромаятник є швидким).

Тепер першій корінь набуває такого наближеного значення:

. (2.42)

Другий корінь визначиться так:

. (2.43)

Проаналізуємо одержані результати.

1. Через те, що момент інерції завжди є додатним, і додатним завжди є коефіцієнт тертя , дійсна частина другого кореня є завжди від’ємною, тому високочастотна складова власних коливань завжди є стійкою, і з плином часу високочастотні коливання зникають.

2. Стійкість або нестійкість низькочастотних коливань гіромаятника залежить від того, вище чи нижче точки підвісу розташований його центр мас. При верхній маятниковості ( , випадок дзиґи) низькочастотні коливання є нестійкими. При нижній маятниковості ( ) низькочастотні коливання є стійкими і з часом зникають. Отже, верхнє положення рівноваги гіромаятника є нестійким, а нижнє – стійким. У цьому відношенні гіромаятник не відрізняється від звичайного маятника.

Зовсім інакше проявляє себе тертя у тому випадку, коли гіроскоп спирається закругленим нижнім кінцем своєї осі на підп’ятник (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Гіромаятник на підп’ятнику

Для простоти досліджування приймемо, що кінець осі гіромаятника має форму кулі, а підп’ятник є сферичним з радіусом, більшим за радіус цієї кулі. Припускатимемо, що центр півкулі на кінці осі гіромаятника залишається нерухомим увесь час розглядуваного руху, тобто він є точкою опори . Тоді точки дотику осі гіромаятника з підп’ятником, які лежать точно нижче цієї точки мають швидкості ковзання за напрямком майже горизонтальні.

Усі вони напрямлені в один бік, який визначається головним чином напрямком власного обертання гіроскопа. Сила кулонова тертя у кожній такий точці не залежить від величини швидкості ковзання, а визначається лише напрямком відповідної швидкості і силою тиску у цій точці. У сукупності вони утворюють єдину горизонтальну силу тертя, яка прикладена до гіроскопу у точці дотику осі фігури з поверхнею підп’ятника. Ця сила тертя на плечі радіусу кулі осі фігури утворює відносно точки опори вектор моменту сил тертя, який, як неважко впевнитися, є у розглядуваному випадку горизонтальним, міститься у вертикальній площині, що проходить через вісь фігури гіроскопа і завжди є спрямованим у напрямку, протилежному напрямку кутової швидкості власного обертання. Величина цього моменту не залежить ані від величини кутової швидкості власного обертання, ані від куту відхилення осі гіромаятника від вертикалі.

У залежності від того, чи буде центр тяжіння гіроскопа лежати вище за точку його опори , чи нижче її, і у залежності від напрямку власного обертання гіроскопа, можна вирізнити чотири випадки взаємного розташування векторів, що визначають рух гіромаятника (рис. 2.15).

Рис. 2.15. Варіанти дії тертя у підп’ятнику на гіромаятник

Розкладемо вектор на складові і вдовж осі фігури і по перпендикулярній їй осі, що лежить в вертикальній площині разом з віссю фігури. Складова завжди зменшує величину кінетичного моменту гіроскопа. Складова викликає додаткову прецесію гіромаятника. Як випливає з розгляду рис. 2.6, ця складова обумовлює підняття центру тяжіння гіромаятника, коли останній є вищім за точку підвісу, і навпаки, його опускання, якщо центр тяжіння є нижчим за точку підвісу.

Отже, можна дійти висновку:

тертя у підп’ятнику зменшує кутову швидкість власного обертання гіромаятника; завдяки тертю і нижнє і верхнє положення рівноваги гіромаятника на підп’ятнику є стійкими.

Цим і пояснюється відоме, легко спостережуване і парадоксальне явище швидкого випрямлення осі обертової дзиґи, яка спирається на горизонтальну площину. При такому випрямленні потенційна енергія збільшується, але зате відповідно зменшується кінетична енергія, яку гіроскоп має завдяки власному обертанню.

Як тільки швидкий гіромаятник (дзиґа) сягає вертикального положення, дія тертя ковзання зменшується, але зате починає проявлятися тертя вертіння. Це тертя зменшує величину кінетичного моменту гіроскопа. З плином часу гіроскоп перестає бути швидким, його кінетичний момент стає меншим за визначений нерівністю (2.36). Якщо при цьому вісь гіроскопа встигла зайняти верхнє вертикальне положення, то після цього умова стійкості порушується, і дзиґа починає розгойдуватися і, кінець-кінцем, перекидається.