1.3. Випрямний ефект маятника при вібрації точки його підвісу

1.3.1. Мета роботи

Вивчити причини виникнення і головні особливості випрямного ефекту маятника при вібрації точки його підвісу. Провести експериментальні дослідження випрямного ефекту на чисельній моделі і порівняти з теоретичними висновками.

1.3.2. Сценарій роботи

1. Вивчити теоретичну частину роботи

2. Увійти у програмне оточення лабораторної роботи. Встановити початкове значення кута відхилення маятника від вертикалі 0 градусів, початкову швидкість рівною нулю, амплітуди віброперевантажень і частоту вібрації – у відповідності до завдання (п. 1.3.4), відносний коефіцієнт загасання – 0.1. Зафіксувати результати моделювання на ЕОМ і, перш за все, величину сталої складової відхилення маятника від вертикалі, частоту і амплітуду усталених коливань. Повторити експеримент за різних значень зсуву фаз між коливаннями точки підвісу маятника у вертикальному і горизонтальному напрямках. Домогтися (і зафіксувати вищезазначені параметри), щоб а) відхилення від вертикалі було максимальним; б) відхилення було мінімальним; в) відхилення середнього положення було відсутнім. Впевнитися, що різниця між зафіксованими зсувами фаз дорівнює і відповідно.

3. Встановити параметри, що відповідають максимальному відхиленню середнього положення маятника від вертикалі. Варіювати (2..3 значення) а) амплітудою віброперевантаження у вертикальному напрямку; б) амплітудою віброперевантаження у горизонтальному напрямку; в) частотою вібрації. Фіксувати вищезазначені параметри руху маятника. Встановити залежність випрямного ефекту від варійованих величин. Порівняти з результатами теоретичного аналізу. Зробити висновки.

4. Провести експерименти з вивчення випрямного ефекту маятника при суто горизонтальній вібрації основи. Встановити амплітуду горизонтального віброперевантаження 10, відносну частоту вібрації – 6. Змінюючи початкові умови, домогтися а) існування середнього відхилення у один бік; б) існування такого ж відхилення у протилежний бік; в) загасання коливань до положення рівноваги. Зафіксувати ці стани і параметри руху маятника. Встановивши умови існування випрямного ефекту, проваріювати (2..3 значення) а) амплітудою перевантаження; б) частотою вібрації, кожного разу домагаючись зміненням початкових умов існування випрямного ефекту того самого знаку. Зафіксувати одержані результати. Зробити висновки про залежність випрямного ефекту від варійованих величин.

5. Підготувати відповіді на запитання поділу 1.3.5.

6. Показати викладачеві одержані результати, пояснити їх. Доповісти про зроблені висновки. Відповісти на запитання викладача.

1.3.3. Теоретична частина. Випрямний ефект

При вібрації точки підвісу маятника одночасно у горизонтальному і вертикальному напрямках, спостерігається ще одне цікаве нелінійне явище:

середнє положення маятника при усталених вимушених його коливаннях буде відхилятися від положення вертикалі у той чи іншій бік.

Таке явище є притаманним лише для нелінійних, або лінійних нестаціонарних систем. В спеціальній літературі з гіроскопії його прийнято називати випрямним ефектом.

Розглянемо його теоретично, користуючись методом збурень.

Для цього знову скористаємося рівнянням (0.4), в якому вважатимемо, що вібрація основи здійснюється за законами:

, . (1.24)

Тобто припускається, що точка підвісу маятника здійснює гармонійні коливання в вертикальному і горизонтальному напрямках з тою самою частотою, але з різними амплітудами і фазами.

З врахуванням цього рівняння (1.24) набуде вигляду

. (1.25)

У відповідності до метода збурень, будемо відшукувати розв'язок рівняння (1.25) у вигляді ряду

, (1.26)

де – деякий малий параметр, і – розв’язки рівнянь першого і другого наближень відповідно.

Рівняння першого і другого наближень виходять шляхом групування членів рівняння (1.25), що містять як множник малий параметр у першому або другому степені відповідно. Для цього, перш за все, вважатимемо, що амплітуди вібрації основи є малими, у відповідності до чого замінимо у (1.25) їх на величини

; . (1.27)

Тепер підставимо (1.26) і (1.27) у (1.25) і прирівняємо коефіцієнти при членах рівняння, що мають як множник малий параметр у першому степені. Одержимо рівняння першого наближення:

. (1.28)

Аналогічно, групуючи члени з множником , одержимо рівняння другого наближення:

. (1.29)

Якщо обмежитися відшуканням лише усталених коливань, то розв'язок рівняння (1. 28) матиме вигляд:

, (1.30)

де

; . (1.31)

Використаємо розв’язок (1.30) для конкретизації правої частини рівняння (1.29) другого наближення:

(1.32)

.

Обмежимося відшуканням не повного розв'язку рівняння другого наближення, а лише його сталої складової, значення якої, вочевидь, визначається сталою складовою у правій частині рівняння (1.32). Маємо:

,

або

, (1.33)

де

. (1.34)

Отже, теоретичний аналіз підтверджує можливість виникнення випрямного ефекту.

Проаналізуємо отриманий вираз (1.33). Перш за все привертає увагу значна залежність сталої складової відхилення маятника від зсуву фаз між вібраціями у вертикальному і горизонтальному напрямках точки підвісу маятника. У залежності від цього зсуву фаз стала складова відхилу може бути відсутня (якщо ), може бути максимальною за величиною і додатною (при ), або максимальною за величиною і від'ємною ( ). Як випливає з (1.33), якнайбільше значення відхилення сягає величини

. (1.35)