3.3.2.1. Вільний рух гіромаятника
Розглянемо рух гіромаятника в наступних умовах:
1) рух основи по поверхні Землі відбувається рівномірно
; (3.72)
2) по осях підвісу діють тільки моменти
сил тертя, пропорційні кутовим швидкостям
і
:
; 
.
(3.73)
Позначаючи
; 
,
(3.74)
приведемо рівняння руху гіромаятника до виду
. (3.75)
де
і
-
незмінні величини.
Положення рівноваги гіромаятника
визначиться частинним розв’язком
системи (3.75), обумовленим наявністю в
правих частинах постійних членів
і
:
;
,
(3.76)
з врахуванням позначень (3.71).
Швидкісна похибка визначається співвідношенням
.
(3.77)
Інакше кажучи, вектор кінетичного моменту гіромаятника, нерухомо встановленого на обертовій Землі, відхиляється від вертикалі до півночі у площині меридіана.
Далі розглянемо перехідний процес, тобто процес переходу осі ротора гіромаятника з довільного в усталене положення, яке визначається рівностями (3.76). Нехай і - відхилення головної осі гіромаятника від положення рівноваги:
;
.
(3.78)
Рис. 3.18. Розташування
векторів
,
в усталеному положенні
Рівняння руху (3.75) у нових координатах і матимуть вигляд однорідних диференціальних рівнянь.
. (3.79)
Задля спрощення покладемо
.
(3.80)
У цьому випадку для розв’язку системи (3.79) можна застосувати компресію рівнянь.
Вводячи комплексну змінну
,
(3.81)
перейдемо від системи (3.79) до одного рівняння першого порядку
.
(3.82)
Розв’язок (3.82) можна записати так:
.
(3.83)
Нехай початкові умови описуються співвідношеннями
,
тобто
.
(3.84)
У цьому випадку, підставляючи їх у (3.82) і визначаючи сталу інтегрування, розв’язок (3.83) можна представити у формі
,
(3.85)
де
;
;
;
.
На
рис. 3.19 зображена траєкторія вершини
гіромаятника при погляді зверху, що
відповідає перехідному процесові,
описаним виразом (3.17). Неважко бачити,
що
являє собою вектор початкове положенням
гіромаятника,
-
вектор усталеного її положення,
– вектор початкового положення щодо
установленого;
характеризує інтенсивність
зменшення радіуса-вектора спирали,
–
кутову швидкість обертання радіуса-вектора
вершини гіромаятника навколо установленого
її положення.
Рис. 3.19. Траєкторія
вершини гіромаятника (перехідний процес,
)
Запишемо і більш розлого, врахувавши раніше позначення (3.70) і (3.74)
(3.86)
Через те, що завжди
;
;
;
,
знаки величини , яка визначає напрямок обертання вершини гіроскопа навколо її установленого положення, залежать від знака "маятниковості" ( ) і кінетичного моменту ( ), а знак величини визначається лише знаком "маятниковості".