Xlabel('Відносна частота власних коливань')

ylabel('Амплітуда (радіани)')

Результат наведено на рис. 1.1. Суцільна крива відповідає лінеаризації по кінцях, пунктирна - прямій лінеаризації.

Рис. 1. 1. Скелетні криві ФМ згідно лінеаризацій по кінцях і прямій

Аналіз одержаних кривих дозволяє зробити висновок, що за великих амплітуд ( радіана) криві значно відрізняються. Але якщо амплітуди є малими ( рад) обидва види лінеаризації приводять до близьких значень.

Впевнимося у цьому.

За малих амплітуд вираз (1.7) набуває наближеного вигляду

.

Аналогічно

.

Як бачимо, залежності від амплітуди є однотипними (квадратичними). Відрізняються вони лише значеннями коефіцієнтів.

Переходячи до виразів власної частоти, матимемо

;

.

Згідно методу гармонічної лінеаризації, якщо розв’язок рівняння має вигляд (1.5), відповідний кутовий коефіцієнт прямої лінеаризації визначається співвідношенням

. (1.10)

Безпосереднє застосування цієї формули до нелінійності (1.2) приводить до інтегралу

,

якого немає серед табличних інтегралів. Тому обмежимося лише випадком малих коливань, розглядаючи замість його наближений розклад у ряд Маклорена . Застосовуючи формулу (16) для цієї нелінійності, матимемо

(1.11)

Отже, за малих амплітуд метод гармонічної лінеаризації приводить до тих самих результатів, що й метод прямої лінеаризації.

Щоб оцінити, наскільки точно методи лінеаризації відображують реальну частоту власних коливань маятника, відшукаємо точний розв’язок нелінійного рівняння (1.1).

Для цього помножимо це рівняння на і проінтегруємо:

; ;

. (1.12)

Останнє співвідношення описує відомий результат – сума кінетичної і потенціальної енергій залишається незмінною протягом усього вільного руху маятника.

Припускаючи, як до того, початкову швидкість , а початкове відхилення , можна рівняння (1.12) перетворити до такого

,

яке дозволяє розділити змінні:

. (1.13)

Знак '–' слід використовувати при зменшенні куту від до , а знак '+' – при збільшенні куту від до .

Позначимо

; . (1.14)

В цих позначеннях матимемо

.

Диференціюючи другий вираз (1.14), дійдемо

,

звідки випливає

.

Враховуючи це, розв’язок (1.13) можна подати у вигляді

. (1.15)

Функція є багатозначною. Певному значенню величини відповідає безліч різних моментів часу . Кожного разу, коли кут сягає максимального або мінімального значення, знак перед інтегралом у виразі (1.15) змінюється на протилежний. Наприклад, на першому проміжку, коли кут змінюється від свого максимального значення , зменшуючись і наближаючись до нуля, залежність (1.15) набуває вигляду:

. (1.16)

Тут використані відомі позначення – еліптичного інтегралу 1-го роду у лежандровій формі; – повний еліптичний інтеграл 1-го роду.

Визначимо період власних незгасальних коливань маятника.

Щоб визначити проміжок часу, протягом якого маятник опускається від найвищого свого положення до вертикалі достатньо у виразі (1.16) покласти . Цей проміжок, очевидно, дорівнює четвертій частині шуканого періоду. Тому

. (1.17)

Це дає точну формулу для визначення частоти власних незгасальних коливань маятника як функції їх амплітуди

. (1.18)

Побудуємо графік точної скелетної кривої за допомогою функції ellipke:

a=pi/1000:pi/180:pi;

lam1=sqrt(sin(a)./a);

lam2=sqrt(3*(sin(a)-a.*cos(a))./a.^3);

[K,E]=ellipke((sin(a/2)).^2);

lam2=pi./(2*K);

x=0:0.01:1;

y=pi*ones(length(x));

plot(lam1,a,lam2,a,'.',x,y), grid

title('Скелетні криві ФМ')