2.3.3.2. Вплив тертя на вільний рух гкп

Теоретичне вивчення впливу тертя на вільний рух ГКП у рамках лінеаризованої моделі доводить, що:

1. нутаційні коливання з плином часу загасають;

2. внаслідок зменшення з часом амплітуди нутаційних коливань ще більшими темпами зменшується систематичний дрейф ГКП навколо зовнішньої осі підвісу;

3. наявність систематичного дрейфу навколо зовнішньої осі підвісу приводить до виникнення сталої складової сили тертя в опорах цієї осі; остання викликає додатковий систематичний дрейф ГКП вже навколо внутрішньої осі підвісу; напрямок цього дрейфу завжди такий, що він наближає головну вісь гіроскопа до зовнішньої осі підвісу;

4. цей вторинний дрейф у власну чергу викликає систематичну складову моменту сил тертя в опорах внутрішньої осі підвісу, який приводить до третинної прецесії ГКП навколо зовнішньої осі; цей дрейф призводить до зменшення первинного дрейфу Магнуса.

2.3.3.3. Рух гкп під дією сталих моментів сил

Якщо скористатися лінеаризованими рівняннями

,

рух ГКП можна подати у вигляді наступних залежностей

;

;

(2.52)

Як випливає з цих співвідношень, під дією сталих моментів сил ГКП здійснює рівномірну прецесію навколо перехресної осі, на яку накладаються нутаційні коливання з амплітудою, яка залежить як від початкових кутових швидкостей головної осі, так і від значень діючих сталих моментів.

У частинному випадку раптово прикладеного моменту, коли вважається, що у початкову мить головна вісь була нерухомою у просторі, з (3.9) випливає

(2.53)

Як бачимо, нутаційні коливання супроводжують вимушену прецесію гіроскопа і у цьому випадку, причому тепер їхня амплітуда цілком визначається лише діючими сталими моментами.

Можна поставити таке запитання: чи можна підібрати такі початкові умови (з кутових швидкостей ГКП), щоб нутаційні коливання були відсутні?

Відповідь на це можна знайти, якщо у виразах (2.53) прирівняти нулю "амплітуди" при і :

; . (2.54)

За початкових умов (2.54) розв’язок (2.53) набуде вигляду:

; ;

; . (3.55)

Варто зазначити, що розглянуті розв’язки (як і взагалі лінеаризовані рівняння) є слушними лише за умови, що кут повороту внутрішньої рамки карданового підвісу відносно зовнішньої за час розглядання руху змінюється незначно (наприклад, менш за 10 градусів).

2.3.3.4. Вплив тертя на рух гкп під дією сталих моментів сил

Якщо враховувати тертя в осях карданового підвісу, то першим результатом його впливу, як і випадку вільного руху ГКП, є загасання власних (нутаційних) коливань. Цей висновок є цілком слушним у випадку, якщо тертя в осях підвісу є в'язким.

Але якщо тертя є сухим, картина руху суттєво змінюється. У випадку, коли діючи по осях підвісу сталі моменти сил перевищують за величиною відповідні моменти сил сухого тертя, загасання нутаційних коливань здійснюється до певної амплітуди, після чого головна вісь здійснює незагасаючи нутаційні коливання (автоколивання). Амплітуда цих коливань визначається різницєю між величинами сталих моментів сил і моментів сил сухого тертя.

2.3.3.5. Рух гкп під дією гармонічно змінюваних моментів сил

Детальне вивчення нелінійних рівнянь (2.44) руху ГКП за допомогою методів малого параметру за дії на ГКП моментів сил, які змінюються у часі за гармонічним законом, приводить до висновку, що:

1. за наявності тертя коливання головної осі ГКП з часом усталюються; у кінцевому підсумку головна вісь здійснює вимушені коливання з частотою змінювання моментів сил і з незмінною амплітудою, величина якої визначається амплітудою і частотою змінювання моментів сил;

2. ці вимушені коливання супроводжуються систематичним зміщуванням їхнього центру навколо зовнішньої підвісу зі сталою швидкістю (систематичним дрейфом).

Якщо по осях ГКП діють гармонічно змінювані моменти сил з тією самою частотою за законами:

; ;

,

в усталеному режимі головна вісь здійснюватиме вимушені коливання за аналогічним законом

; ,

де коефіцієнти , , і пов'язані з параметрами моментів сил співвідношеннями

;

;

;

.

Ці коливання накладаються на систематичний дрейф гіроскопа навколо зовнішньої осі підвісу зі швидкістю

,

де позначено: – амплітуда вимушених коливань навколо зовнішньої осі підвісу з кутової швидкості; – відносна частота вимушених коливань.