1.1.3. Теоретична частина. Неізохронність власних коливань. Скелетні криві
З власного досвіду нам відомо, що період коливань гойдалки залежить від їх розмаху: якщо амплітуда розгойдування наближається до 90 градусів, період коливань помітно збільшується. Таку властивість мають лише нелінійні системи (в лінійних стаціонарних системах, поводження яких можна описати лінійними диференційними рівняннями зі сталими коефіцієнтами, частоти власних коливань залишаються тими самими за будь-яких значень амплітуди цих коливань). Її прийнято називати неізохронністю власних коливань.
Щоб вивчити теоретично цю властивість, розглянемо вільні незгасаючі коливання ФМ, коли точка його підвісу є нерухомою, а коефіцієнт демпфірування дорівнює нулю. У цих умовах рівняння (0.4) маятника набуде вигляду
. (1.1)
Спершу вивчимо поводження ФМ, користуючись
методом лінеаризації, задля чого,
припускаючи, що ФМ в умовах вільного
руху здійснює симетричні відносно
вертикалі незгасальні коливання зі
сталою амплітудою
,
наближено замінимо нелінійний член
на лінійний
. (1.2)
Величина
у загальному випадку є функцією амплітуди
коливань. Конкретний вигляд цієї функції
визначається особливостями обраного
методу лінеаризації. Якщо розглядувані
коливання є стаціонарними (тобто їхня
амплітуда не змінюється з часом), то
є сталою величиною, і відповідне
лінеаризоване рівняння
(1.3)
стає рівнянням зі сталими коефіцієнтами, розв’язок якого легко відшукується відомими способами:
. (1.4)
Значення амплітуди
і початкової фази
власних коливань визначаються (як сталі
інтегрування) початковими умовами. Не
зменшуючи узагальненості результатів,
задля спрощення вважатимемо, що у
початкову мить початкова кутова швидкість
дорівнює нулю, тобто маятник відхилено
на початковий кут
від вертикалі і відпущено без поштовху.
Тоді співвідношення (1.4) дещо спрощується
, (1.5)
причому амплітуда тепер дорівнює початковому відхиленню маятника.
Величина
(1.6)
має сенс частоти власних коливань, точніше, враховуючи безрозмірну форму первісного рівняння, – відношення частоти власних коливань маятника до значення тієї ж частоти при прагненні амплітуди коливань до нуля (малих власних коливань). Як бачимо, згідно теорії, дійсно, частота власних коливань нелінійної системи може залежати від їхньої амплітуди.
Конкретизуємо залежність (1.6).
Спочатку використаємо лінеаризацію
по кінцях. Згідно з нею, відрізок
нелінійної залежності
,
що міститься всередині інтервалу
,
замінюється на пряму, що проходить крізь
точки цього відрізку на кінцях інтервалу
(тобто, через точки
і
).
Тому у цьому випадку коефіцієнт
лінеаризації
,
який визначає тангенс куту нахилу прямої
до осі абсцис, дорівнюватиме
. (1.7)
Більш складною виявляється аналогічна формула в прямій лінеаризації:
. (1.8)
Через інтегрування частинами цей вираз для розглядуваної нелінійності (1.2) приводить до результату
. (1.9)
В теорії нелінійних коливань графік залежності частоти власних коливань від амплітуди, побудований у такий спосіб, що амплітуду відкладено вздовж осі ординат, а частоту – вдовж осі абсцис, називають скелетною кривою.
Побудуємо скелетні криві ФМ відповідно до формул (1.7) і (1.9), використовуючи можливості системи MatLAB:
a=pi/1000:pi/100:4.5;
lam1=sqrt(sin(a)./a);
lam2=sqrt(3*(sin(a)-a.*cos(a))./a.^3);
plot(lam1,a,lam2,a,'.'), grid
title('Скелетні криві ФМ')