3.1. Поводження двоступеневого гірокомпаса на рухомій основі

3.1.1 Мета роботи

Шляхом експериментальних досліджень на чисельній моделі вивчити вільний рух двоступеневого гірокомпаса та вплив кутової вібрації основи на рух двоступеневого гірокомпаса і порівняти з висновками теоретичного аналізу.

3.1.2. Теоретична частина

Двоступеневим гірокомпасом (ДГК) називають двоступеневий гіроскоп, встановлений нерухомо на поверхні Землі так, щоб вимірювальна вісь була спрямована вздовж вертикалі місця (рис. 3 .1).

У такому випадку роль основи відіграє Земля, а географічна система координат - роль зв‘язаної з основою системи координат , причому вісь у розглядуваному випадку збігається з вертикаллю місця, а кут є відхиленням головної осі гіроскопа від площини місцевого меридіану ( ). Земля як тіло обертається в інерціальному просторі з кутовою швидкістю , вектор якої лежить у площині меридіану (див. рис. 3.1) і нахилений до площини горизонту під кутом широти місця.

Рис. 3.1. Кінематика двоступеневого гірокомпасу

Проекція кутової швидкості на площину, перпендикулярну вимірювальній осі (спрямованій вдовж вертикалі місця ), тобто на горизонтальну площину , збігається з полуденною лінією .

У загальному випадку положення географічної системи координат в інерціальному просторі визначається, по-перше, поворотом Землі в інерціальному просторі з кутовою швидкістю , спрямованою по лінії полюсів, а по-друге, - переміщенням об’єкта відносно Землі (з кутовою швидкістю змінювання кута географічної широти об‘єкта, спрямованою по лінії полюсів, і кутовою швидкістю змінювання кута географічної широти, яка збігається з віссю і спрямована на захід).

Проекції кутової швидкості географічної системи координат в інерціальному просторі, рівної сумі вказаних векторів кутової швидкості, дорівнюють:

; ; . (3.1)

У подальшому припускатимемо, що об‘єкт рухається по поверхні Землі так, що не має вертикальної складової швидкості, тобто вектор його лінійної швидкості завжди лежить у площині горизонту.

Кутом курсу (рис. 3.2) називають кут між горизонтальним напрямком на північ і вектором лінійної швидкості об‘єкта відносно поверхні Землі.

Розкладемо вектор швидкості на північну і східну складові (див. рис. 3.2). Отримаємо

; . (3.2)

Рис. 3.2. Швидкість об’єкта у горизонтальній площині

Північна складова швидкості спричиняє змінювання широти місця і пов‘язана зі швидкістю цього змінювання співвідношенням:

, (3.3)

де – радіус Землі.

Друга, східна, складова спричиняє рух об’єкта по паралелі, тобто змінювання кута довготи місця. Швидкість змінювання довготи пов’язана зі східною складовою швидкості об‘єкта рівністю:

. (3.4)

З врахуванням одержаних співвідношень проекції кутової швидкості повороту географічної системи координат на її осі можуть бути подані у виді:

; ; (3.5)

Рівняння ДГК мають вигляд:

; (3.6)

.

Тут позначено: ; – моменти інерції ДГК; – власний кінетичний момент гіроскопа;

; (3.7)

– проекції кутової швидкості основи на головну вісь гіроскопа і на вісь, перпендикулярну як головній, так і вимірювальній осі.

У подальшому будемо поділяти кутовий рух основи на “корисний”, з кутовою швидкістю географічної системи координат і кутовий рух основи відносно цієї системи координат (відносно поверхні Землі),

, (3.8)

де - вектор кутової швидкості коливань корпусу гірокомпаса щодо географічної системи координат.

Рівняння руху (3.6) ДГК у подальшому використовуватимемо у формі

, (3.9)

де не враховується рух основи навколо вимірювальної осі.

Уточнимо проекції кутової швидкості, беручи до уваги (3.1), (3.3), (3.5), (3.7) і (3.8):

;

. (3.10)