Xlabel('Відносна частота власних коливань')

ylabel('Амплітуда (радіани)')

Цей графік подано на рис. 1.2 пунктирною лінією. Для порівняння на ньому зображена також наближена скелетна крива, одержана раніше за допомогою метода лінеаризації по кінцях.

Рис. 1.2. Точна скелетна крива фізичного маятника

1.1.4. Контрольні запитання

1. Що таке "ізохронність" коливань? Чим обумовлено таку назву?

2. Чи є власні незгасальні коливання маятника гармонічними?

3. Чим є характерною часова форма коливань маятника?

4. Які особливості має залежність частоти власних коливань маятника від їх амплітуди?

5. Що називають "скелетною кривою"? Чому її так називають? Який з видів метода лінеаризації приводить до скелетної кривої, найбільш наближених до точної?

1.2. Амплітудно-частотні характеристики маятника

1.2.1. Мета роботи

Порівняти експериментальні амплітудно-частотні характеристики вимушених коливань маятника з теоретичними.

1.2.2. Сценарій роботи

1. Вивчити теоретичну частину роботи

2. Увійти у програмне оточення лабораторної роботи. Встановити початкове значення кута відхилення маятника від вертикалі 0 градусів, початкову швидкість рівною нулю, амплітуду віброперевантаження у вертикальному напрямку рівною нулю. Амплітуду віброперевантаження у горизонтальному напрямку і відносний коефіцієнт загасання встановити у відповідності з завданням (п. 1.2.4). Змінюючи відносну частоту у діапазоні від 2 до 0 (20.. 30 значень), зафіксувати результати моделювання на ЕОМ і, перш за все, величину амплітуди усталених коливань.

3. Побудувати експериментальну АЧХ. Порівняти її з теоретичною. Зробити висновки.

4. Підготувати відповіді на запитання поділу 1.2.6.

5. Показати викладачеві одержані результати, пояснити їх. Доповісти про зроблені висновки. Відповісти на запитання викладача.

1.2.3. Теоретична частина. Амплітудно-частотні характеристики маятника

Розглянемо випадок суто горизонтальної вібрації основи. Рівняння (0.4) у цьому випадку набуває вигляду

. (1.19)

Припускатимемо, що горизонтальна вібрація здійснюється за законом

, (1.20)

де - відносна частота вібрації, тобто відношення частоти вібрації точки підвісу до частоти власних малих коливань маятника; - амплітуда віброперевантаження у горизонтальному напрямку; - початкова фаза вібрації.

Вивчатимемо вимушений рух цієї нелінійної системи за допомогою метода лінеаризації. для цього лінеаризуємо нелінійність (див. (1.2)), вважаючи, що шуканий розв'язок має вигляд

, (1.21)

що відповідає вимушеним усталеним коливанням маятника з частотою зовнішньої дії. Задля спрощення в правій частині рівняння нехтуватиме змінюванням у часі величини , тобто вважатимемо . В результаті одержимо лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами

, (1.22)

Тут амплітуда і фаза є шуканими величинами.

Підставляючи (1.21) у (1.22) і прирівнюючи коефіцієнти при і , одержимо два алгебричних рівняння відносно двох невідомих і :

.

Виключаючи з цих рівнянь невідому фазу, одержимо рівняння лише відносно амплітуди

.

Розв'яжемо це рівняння відносно частоти вимушених коливань (вона же є частотою збурювальної сили):

. (1.23)

Тепер можна побудувати амплітудно-частотні характеристики, якщо є відомим коефіцієнт лінеаризації як функція амплітуди, параметри маятника і амплітуда зовнішньої дії. Для цього потрібно задаватися певними значеннями амплітуди коливань маятника і розраховувати, на основі (1.23), відповідні до них значення частоти зовнішньої дії . Завважимо, що значення частоти , розраховані за виразом (1.23), групуються відносно значень скелетної кривої як навколо "скелета", чим і обумовлено назву скелетної кривої.

Складемо програму у середовищі Matlab для обчислення значень АЧХ маятника, використовуючи як частоту власних коливань лінеаризованої моделі знайдений раніше (1.18) точний вираз частоти власних коливань:

dz=0.1; nxm=1; % Параметри маятника і зовнішньої дії

dz2=1e-2;

s=1; da=pi/180; k=0; kn=10; a=kn*da; % Параметри для розрахунків

% Розрахунок А Ч Х

for k=1:(180-kn)

a=a+da; [K,E]=ellipke((sin(a/2)).^2);

Lam(k)=pi/(2*K); lam2=(Lam(k))^2;

s=(nxm/a)^2-4*dz2*(lam2-dz2);

A(k)=a*180/pi; d=sqrt(s);

Nu1(k)=sqrt(lam2-2*dz2-d); Nu2(k)=sqrt(lam2-2*dz2+d);

end

% Побудова графіка

plot(Lam,A,Nu1,A,Nu2,A), grid

title('А Ч Х маятника для Nxm=1 та dz=0.1')